Nyuton leybnits formulasi

Nyuton - leybnits formulasi
Reja:

1. 
   Nyuton - Leybnits formulasi.
   
2. 
   O’rniga qo’yish usuli bilan aniq integralni hisoblash.
   
3. 
   Bo’laklab integrallash yordamida aniq integralni hisoblash.
   

Nyuton - Leybnits formulasi. Aniq integral hisobining
asosiy formulasi


Teorema: Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning [a;b]kesmadagi boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda aniq integral boshlang’ich funksiyaning integrallash oralig’idagi orttirmasiga teng, ya`ni

Misol:


Aniq integralda o’zgaruvchini almashtirish
integral berilgan bo’lsin, bunda f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz funksiya.
x=(t) formula bo’yicha yangi t o’zgaruvchini kiritamiz.
Teorema: Agar 1) ()=a ; ()=b ya`ni x=(t) funksiya  va  ni mos ravishda a va b ga o’tkazsa;
2) (t) va ¹(t) funksiyalar ham [, ] kesmada uzluksiz funksiyalar bo’lsa,
3) f ((t)) funksiya [, ] kesmada aniqlangan hamda uzluksiz bo’lsa, u holda quyidagi formula
(1)
o’rinli bo’ladi.
Isbot: Agar F(x) funksiya f(x) ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u holda F((t)) funksiya esa f((t)) funksiyaning boshlang’ich funksiyasi bo’ladi. Endi (1) formulaning ikkala tomoniga ham Nyuton- Leybnits formulasini qo’llaymiz.

Demak, bu ifodalarning o’ng tomonlari teng bo’lgani uchun chap tomonlari ham teng bo’ladi.
1-Misol :

2-Misol:





Aniq integralni bo’laklab integrallash

Faraz qilaylik, u(x) va v(x) funksiyalar [a,b] kesmada differensiallanuvchi funksiyalar bo’lsin.

Ularning ko’paytmasini tuzib hosila olamiz:

Tenglikni ikkala tomonini a dan b gacha integrallaymiz:

(2)
Bulardan

bo’lgani uchun (2) ni quyidagicha yozamiz .
bundan
(3)
kelib chiqadi.
Bu (3) formula aniq integralni bo’laklab integrallash formulasi deyiladi.
1-Misol .

2-Misol .