Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi 1-§. Interpolyatsiyalash tushunchasi

Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi.
Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasini keltirib chiqarish uchun chekli ayirmalar tushunchasi kiritiladi. Bunda interpoliyatsion qadamlari bir-biriga teng deb hisoblanadi.
Birinchi tartibli chekli ayirma deganda tushuniladi. Xuddi shuningdek, ikkinchi tartibli chekli ayirma deganda:

...

amallar tushuniladi.
Amaliy jihatdan chekli ayirmalar hisoblash uchun dioganal chekli ayirmalar jadvalidan foydalangan ma’qul. Bu jadval quyidagicha:
Diagonal chekli ayirmalar jadvali.


(1)
Nyuton o’zining birinchi interpoliyatsion formulasini quyidagichi izlaydi.
(2)
(2) interpoliyatsion formulaning noma’lum koeffitsiyentlarini aniqlasak, interpoliyatsion formula yozilgan bo’ladi. Buning uchunquyidagi shartlarda foydalanamiz:
shartdan
shartdan esa bo’ladi.
Bundan bo’lgani uchun, bo’ladi.
shartdan va bo’lgani uchun

tenglikka ega bo’lamiz.Bu yerdan ni topamiz:

va hokazo bu jarayonni davom ettirsak,

umumiy formulaga ega bo’lamiz.
Topilgan larni (2) formulaga qo’ysak ushbu

formulaga ega bo’lamiz. Bu formula Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi deyiladi.
Ushbu
(6)
dan foydalanib, (5) formulada h ni 0 ga intiltirsak ushbu
(6)

(7)-bizga ma’lum bo’lgan Teylor qatori.
Demak, Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasida interpoliyatsiya qadamini nolga intiltirib lim ga o’tsak Teylor qatori chiqar ekan. Agar (5) formulaning faqat ikki hadini olsak, kvadratik interpoliyatsiya deyiladi.
Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasini yangi o’zgaruvchilarga quyidagicha yozish mumkin.
yangi o’zgaruvchi kiritamiz. U holda

formulani hosil qilamiz.



Nyutonning interpoliyatsion formulasidan n=1 bo’lsa, chiziqli interpoliyatsiya deb ataladi.


(8)
bo’lgani uchun (8)ni quyidagicha yozish mumkin:
(9)
(9) formula ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq tenglamasidir.
n=2 bo’lganda kvadratik yoki parabolik interpoliyatsiya deb ataladi.
(10)
(10) formula uch nuqtadan o’tuvchi parabola tenglamasidir.
Misol. oraliqda h=0,05 qadam bilan funksiya jadval usulida berilgan. Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi yordamida analitik ko’rinishga keltiring.

x	3,50	3,55	3,60	3,65	3,70
y	33,115	34,115	36,598	38,475	40,447

Nazorat savollari.

1. 
   Interpoliyatsiya nima?
   
2. 
   Interpoliyatsion formulaga qo’yiladigan shartlar?
   
3. 
   Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi?
   
4. 
   Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi bilan Teylor qatori orasidagi bog’lanish?
   
5. 
   Chiziqli va kvadratik interpoliyatsiya nima?
   

Nyutonning ikkinchi interepoliyatsion formulasi boshqa interpoliyatsion formulalar.
Funksiyaning ma’lum qiymatlariga ko’ra uning analitik ifodasini topish masalasi, geometrik nuqtai nazardan, nuqtalar berilganda, bu nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqni topishni bildiradi (1-chizma)

1-CHIZMA UCHUN JOY

Berilgan nuqtalardan cheksiz ko’p egri chiziqlar o’tkazish mumkinligi o’quvchiga ravshan bo’lishi kerak. Shunday qilib, f(x) funksiyaning qiymatlariga ko’ra, uning analitik ifodasini topish masalasi juda ko’p yechimlarga egadir, ya’ni bunday funksiyalarni cheksiz ko’p tuzish mumkin. Berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi istalgan funksiyani f(x) bilan belgilaymiz. Yuqorida aytib o’tilgandek, f(x) funksiya istalgancha ko’p bo’lishi mumkin.
Faraz qilaylik, f(x) funksiya ixtiyoriy bo’lmay, ba’zi shartlarni qanoatlantirish kerak bo’lsin, unda bu funksiyani topish anchagina aniq masalaga aylanib qoladi. Ko’pincha f(x) funksiya darajasi izlanayotgan f(x) funksiyaning berilgan qiymatlari sonidan bitta kam bo’lgan ko’had bo’lishi talab qilinadi.
Shunday qilib, biz quyidagi ko’rinishdagi masalaga keldik. f(x) ning va qiymatlari uchun shunday y=F(x) ko’phadni topish kerakki, bu ko’phad n-chi darajali bo’lsin va shartlarni qanoatlantirsin:


…

Boshqacha qilib aytilganda, bu yerda , berilgan nuqtalarda beril nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qilovchi ko’phadni topish masalasi qo’yilgan ekan.


Chekli ayirmalar jadvali.
Bunday masala interpoliyatsiyalash deyiladi, nuqtalar interpoliyatsiyaning tugunlari deyiladi.
Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi F(x) funksiyani interpoliyatsion ko’phad deyiladi, bu ko’phadni tuzish uchun ishlatiladigan formulalar interpoliyatsion formulalar deyiladi.
Nyutonning ikkinchi interpoliyasion formulasi ham interpoliyatsiya qadamlari bir-biriga teng bo’lgandagina o’rinlidir. Nyuton o’zining ikkinchi interpoliyatsion formulasini quyidagicha izlaydi.
(2)
Koeffitsiyentlarni aniqlash huddi oldingidek bo’ladi.
shartdan
shartdan







; (3)
Topilganlarni (2)ga qo’ysak.
(4)
(4) formulani Nyutonning ikkinchi interpoliyatsion formulasi deyiladi.
Nyutonning ikkinchi interpoliyatsion formulasini ham yangi o’zgaruvchilarda ifodalash mumkin.
Formulada belgilash kiritamiz. Shunda

formulaga ega bo’lamiz.
Birinchi Gauss interpoliyatsion formulasi.
Interpoliyatsiya tugunlari bir-biriga teng bo’lganda interpoliyatsiya tugunlari quyidagicha belgilaymiz.

Bu yerda

Funksiyaning qiymatlari bu tugunlarda ma’lum 2n daraja ko’rsatkichidan oshmaydigan shunday

Shartni qanoatlantiradigan ko’phad tuzish talab qilinadi.
Ko’phad ko’rinishi quyidagicha topiladi
(6)
Ikkinchi formulaning korffitsiyenti xuddi Nyutonning interpoliyatsion formulalariga o’xshash topiladi. Buning uchun (6) formuladan foydalanamiz. Gauss interpoliyatsion formulasini yozish uchun markaziy chekli ayirmalar jadvalidan foydalanamiz.
bular markaziy chekli ayirmalar deyiladi. Bunda
,

va hokazo.
Markaziy chekli ayirmalar jadvali.

x	y

bo’lganda (5) formuladan bo’lishi ravshan. bo’lganda
; bo’ladi. Bu yerdan birinchi hadni topamiz.

Endi desak, u holda
Forumulaga ega bo’lamiz. Bu yerdan bo’lgani uchun ikkinchi had

Ga teng bo’ladi. x=x2 bo’lganda

bo’ladi. Bu yerdan tenglikka ko’ra uchinchi had


ga teng bo’ladi. Xuddi shuningdek keying had uchun
formulani olishimiz mumkin. Va hokazo bu amallarni davom ettirsak,


Formulalarga ega bo’lamiz.
Bu topilgan koeffitsiyentlarni (5) ga olib borib qo’ysak,
(7)
Formulaga ega bo’lamiz. Bu formulaga Gaussning birinchi interpoliyatsion formulasi deyiladi. Xuddi oldingidek bu yerda ham yangi o’zgaruvchi kiritsak (7) formulamiz quyidagi ko’rinishga keladi.
.
Xuddi shu usul bilan Gaussning ushbu

Ikkinchi interpoliyatsion formulasini keltirib chiarish mumkin.
Gaussning birinchi va ikkinchi interpoliyatsion formulasini o’rta arifmetigi ushbu
.
Ko’rinishda bo’ladi. Bu formulaga Stirling interpoliyatsion formulasi deyiladi.