Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi 1-§. Interpolyatsiyalash tushunchasi

Eytken sxemasi. Interpoliyatsion ko’phadni qurish uchun hiosblashlarni soddalashtirish maqsadida Eyken sxemasini qo’llash qulaydir.
orqali tugunlar yordamida qurilgan n-darajali ko’hadni belgilaymiz.

formulaga asosan



Endi ifoda va lardan qanday qonuniyat bilan tuzilgan bo’lsa, xuddi shu qonuniyat bilan va yordamida tuzilgan

Ifodani ko’rib chiqamiz. Ko’rinib turibdiki P(x) ikkinchi darajali ko’phad bo’lib

Tengliklar o’rinlidir. Demak ,

Shunday qilib, va ga birinchi tartibli interpoliyatsiyani qo’llab, ko’phadga ega bo’ldik. Huddi shu natijani qolgan ikki formuladan ham hosil qilish mumkin:


Bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin.
Shunday qilib, n+1 ta nuqta yordamida n-darajali interpoliyatsion ko’phad ko’rinishi uchun shu nuqtalarning ko’phadlarga birinchi tartibli interpoliyatsiyani qo’llash kerak. Masalan,

Yuqorida keltirilgan sxema Eytken sxemasi deyiladi. Odatda bu sxema ning umumiy ko’rinishini topish mumkin emas, balki uning biror x nuqtadagi qiymatini hisoblashda foydalaniladi. Hisoblashlarni quyidagi jadval shaklida yozish mumkin.

Nazorat savollari.

1. 
   Interpoliyatsiya tugunlarida nolga aylanuvchi n-tartibli ko’phadning ko’rinishi qanday?
   
2. 
   Lagranj interpoliyatsion formulasi?
   
3. 
   Lagranj interpoliyatsion formulalari koeffitsiyentlarini topish formulasi qanday?
   
4. 
   Eytken sxemasi?
   
5. 
   Chiziqli va kvadratik interpoliyatsiya?
   

Interpoliyatsion formulalarning xatoligini baholash.
Interpoliyatsion formulalarni xatoligini baxolash umumiy formulasi. Biz oldingi ma’ruzalarni bir qancha interpoliyatsion formulalarni ko’rib o’tgan edik. Bularning xammasi interpoliyatsion tugunlari da funksiya

Qiymatlarni qabul qiladi. Interpoliyatsiya tugunlarida berilgan funksiya bilan interpoliyatsion ko’phad orasidagi farq nolga teng. Tugunlardan tashqarida berilgan funksiya bilan interpoliyatsion ko’phad orasidagi xato
R(x)=f(x)-L(x)
bo’lsin. y=f(x) funksiya oraliqda

hosilalarga ega bo’lsin. Yordamchi funksiya kiritamiz.

Bu yerda

k-o’zgarmas koeffitsiyentni keyinroq topamiz.
U(x) funksiya (n+1) ta ildizga ega bo’lsin. Bu ildiz [a,b] oraliqda ga teng bo’lsin. Bu ildiz interpoliyatsiya tugunlariga tushmasin. ildizni (1) ga qo’ysak bo’ladi. Bunda