Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi 1-§. Interpolyatsiyalash tushunchasi

Nyutonning birinchi interpoliyatsion formulasi
1-§.Interpolyatsiyalash tushunchasi.
Funksiyalarni interpolyatsiyalash jadval tuzishga nisbatan teskari masaladir.Funksiya qiymatlarining jadvali tuzilganda funksiyaning analitik ifoda bo’yicha uning qiymatlari topiladi, interpolyatsiyalashda esa, aksincha, funksiyaning jadvaldagi qiymatlar bo’yicha uning analitik ifodasi tuziladi.
Aytaylik, y=f(x) funksiyaning faqat jadvaldagi qiymatlari berilgan bo’lsin, ya’ni argument bo’lganda funksiyaning qiymatlari ma’lum bo’lsin:


…

Funksiyaning ma’lum qiymatlariga ko’ra uning analitik ifodasini toppish masalasi, geometrik nuqtai nazardan nuqtalar berilganda, bu nuqtalar orqali o’tuvchi to’g’ri chiziqni topishni bildiradi (1-chizma). Berilgan nuqtalardan cheksiz ko’p egri chiziqlar o’tkazish mumkinligi o’quvchiga ravshan bo’lishi kerak. Shunday qilib, f(x) funksiyaning qiymatlariga ko’ra, uning analitik ifodasini topish masalasi juda ko’p yechimlarga egadir, ya’ni bunday funksiyalarni cheksiz ko’p tuzish mumkin.
Berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi istalgan funksiyani f(x) funksiya istalgancha ko’p bo’lishi mumkin.

Shunday qilib, biz quyidagi ko’rinishdagi masalaga keldik. f(x) ning va qiymatlari uchun shunday y=F(x) ko’phadni topish kerakki, bu ko’phad n-chi darajali bo’lsin va shartlarni qanoatlantirsin:

1-CHIZMA UCHUN JOY



…

Boshqacha qilib aytganda, bu yerda, berilgan nuqtalarda berilgan qiymatlarni qabul qiluvchi ko’phadni topish masalasi qo’yilgan ekan. Bunday masala interpolyatsiyalash deyiladi, nuqtalar interpolyatsiyaning tugunlari deyiladi.
Yuqoridagi shartlarni qanoatlantiruvchi F(x) funksiyani interpoliyatsion ko’phad deyilib, bu ko’phadni tuzish uchun ishlatiladigan formulalar interpoliyatsion formulalar deyiladi.
Interpoliyatsion formulalarni qo’llashning asosiy ma’nosi shundaki, faqat
Jadvaldagi qiymatlari ma’lum bo’lgan y=f(x) funksiyani uni asosiy analitik ifodasi deb qaraladigan ko’phadga almashtiriladi. Bunda tabiiy ravishda f(x) va F(x) ga almashtirishning qanday darajada aniq bajarilganligi va xatoni baholash kabi masalalar kelib chiqadi. Bu masalalarni kelgusida bayon qilamiz.
f(x) funksiyani uning interpoliyatsion ko’phadi bilan almashtirish, avvalo, funksiyaning oraliq qiymatlarini topish zarur bo’ladi. Lekin interpoliyatsion ko’phadni qo’llanishi faqat shu bilan chegaralanib qolmaydi. Bunday almashtirish f(x) funksiyaning analitik ifodasi juda murakkab bo’lib, f(x) funksiya ustida turli matematik amallar bajarish (masalan f(x) funksiyani integrallash) lozim bo’lganda ishlatiladi. f(x) funksiyaning qiymatlarini topish qiyin yoki mumkin bo’lmay qolganda, funksiyaning analitik ko’rinishin noma’lum bo’lganda interpoliyatsion ko’phaddan foydalaniladi.