Оb'ektda turli xil buzilishlar bo'ladi, o'lchov qiymatining og'ishi hisoblanganidan oshmaydi

va izoklin tenglamasi quyidagi shaklni oladi:

ya’ni to'g'ri chiziq tenglamasi bo'ladi.

K_p=0 (regulyator yo'qligi) va k_p=1 м^-1 ni hisoblash natijalari 9.2, a va b navbati bilan. Ko'rib turganimizdek, ikkala holatda ham fazo traektoriyalari, ular ruxsat etilgan mintaqaning qaysi nuqtasida (chiziqlar bilan) boshlanganligidan qat'i nazar, koordinatalar boshlanishiga moyil, ya'ni. muvozanat holati umuman asemptomatik ravishda barqaror. Biroq, traektoriyalarning kelib chiqishiga yaqinlashish tabiati boshqacha. Barcha fazalar traektoriyalari sek. 9.2, va dastlab ularda 1,443 burchak koeffitsienti bo'lgan bitta umumiy tangents mavjud (bu nuqta-chiziq bilan ko'rsatilgan). Bunday muvozanat nuqtasi barqaror tugun deb nomlangan (agar tugun beqaror bo'lsa, fazo traektoriyalari to'rdan chiqib ketar edi). Bunday holda tizimning to'g'ri harakati tebranishsizdir. Shaklda 9.2, 6, fazali traektoriyalar, spirallarning kelib chiqish joyiga o'ralgan shakliga ega, bu esa to'g'ri harakatning tebranish xususiyatini ko'rsatadi. Bu holda muvozanat nuqtasi barqaror fokus deyiladi.

9.3. Muvozanat holatining barqarorligini o'rganish Lyapunov usullari.

9 9.2-da aytilgan barqarorlik kontseptsiyasini rus matematiki A.M. Lyapunov; 1892 yilda u chiziqli bo'lmagan tizimlarning harakat barqarorligini (xususan, muvozanat holatini) o'rganish usulini nashr etdi, bu ularning differentsial tenglamalarini echishni talab etmaydi. Usulning mohiyati davlat o'zgaruvchilari funktsiyasining maxsus shaklini shakllantirishdan iborat,V (z_l,z₂, ..., z_n) 'Lyapunov funktsiyasini chaqirdi. Ushbu funktsiya ijobiy aniq, ya'ni. quyidagi xususiyatlarga ega: doimiy va muayyan mintaqadagi barcha dastlabki hosilalari bilan birga o'z ichiga olgan koordinatalarning kelib chiqishi; uning boshlang'ich qiymati nolga teng; ko'rsatilgan mintaqaning hamma joyida, kelib chiqishi bundan mustasno, ijobiy hisoblanadi. Ijobiy aniq funktsiya Lyapunov funktsiyasiga aylanadi, agar ko'rsatilgan funktsiyaning umumiy vaqt hosilasi ko'rsatilgan mintaqaning har bir qismida shartni qondirsa:

Agar o'rganilayotgan tizim uchun Lyapunov funktsiyasini qurish mumkin bo'lsa, muvozanat holati barqaror bo'ladi; agar bundan tashqari hosilasi (9.6) faqat kelib chiqishi bilan yo'qolsa, muvozanat holati asemptomatik ravishda barqaror bo'ladi. H (R) barqarorlik mintaqasida (9.1-rasmga qarang) Lyapunov funktsiyasi uchun yuqoridagi talablar qondirilishi tabiiydir.

Мisol. Keling, misolda ko'rib chiqilgan tartibga solish tizimining barqarorligini tahlil qilaylik:

§9.2 k_p=1 m^-1.

Tizim holatining tenglamalari allaqachon shaklda topilgan:

V (z₁,z₂) funktsiyasi yuqorida keltirilgan dastlabki uchta talabni qondirganligi sababli, V (z₁,z₂)=. funktsiyasini tanlashga harakat qilamiz; Ushbu funktsiyaning to'liq hosilasi (9.6) quyidagi shaklga ega:

z₁≥4, z₁-1, 1, z₂-1 mavjudlik mintaqasiga tegishli nuqtalarda tanlangan hisoblash shuni ko'rsatadiki, ushbu lotin ko'rsatilgan mintaqaning hamma joyida salbiy hisoblanadi; chunki u faqat kelib chiqishi bilan yo'qoladi, chunki tizimning muvozanat holati umuman asemptomatikdir. Ushbu misol muvozanat holatining barqarorligini o'rganish uchun aniq geometrik izoh beradi. Unda ishlatiladigan Lyapunov funktsiyasini ma'lum bir doimiy songa tenglashtirsak, fazoviy tekislikda (9.2-rasm, b) t vaqtidagi ba'zi bir traektoriyaning A nuqtasi bilan bog'liq bo'lgan z₁=v radius + doiraning tenglamasini olamiz. Vaqt o'tishi bilan, A tasvirlangan nuqta traektoriya bo'ylab harakatlanmoqda va aylana bo'ylab harakatlanmoqda, shu bilan birga radiusni o'zgartiradi. Agar tizimlarning muvozanat holati barqaror bo'lsa, tasvir nuqtasi kelib chiqishga yaqinlashadi va aylana radiusi pasayadi va shuning uchun qiymat kamayadi v (z₁z₂) funktsiyasi shu tarzda, barqaror muvozanat holatida, bu funktsiya Lyapunov usulining shartini talab qiladigan salbiy vaqt hosilasiga ega.

Afsuski, shakllangan barqarorlik mezoni etarli, ammo agar Lyapunov funktsiyasi topilsa, muvozanat holati so'zsiz barqaror, ammo agar bunday funktsiyani olishning iloji bo'lmasa, unda barqarorlik to'g'risida aniq hech narsa aytilmaydi. Shunga qaramay, to'g'ridan-to'g'ri yoki ikkinchi Lyapunov usuli deb nomlangan barqarorlikni o'rganish uchun ko'rib chiqilgan usul bir qator amaliy echimlarni muvaffaqiyatli hal qilishda muvaffaqiyatli qo'llanilmoqda va eng muhimi, chiziqli bo'lmagan tizimlarning individual sinflari harakatlarini barqarorligini o'rganish uchun muhandislik usullarini ishlab chiqish uchun asos bo'lib xizmat qildi.

Ikkinchi (to'g'ridan-to'g'ri) Lyapunov usulining natijasi, avval qurilgan chiziqli modelga ko'ra kichik bo'lgan tizimda bo'lmagan chiziq tizimining muvozanat holatini o'rganish uchun foydalaniladigan birinchi Lyapunov usuli; shu bilan biz ushbu usulni avvalgi barcha boblarda qo'lladik. Chiziqli bo'lmagan dinamik tizim holatining tenglamalari tizimiga (2.1) qaytamiz va funktsiyalarning o'ng tomonini Teylor qatoriga (masalan, bunday kengayish mumkin deb faraz qilamiz) muvozanat rejimi nuqtasi qo'shnisida, faqat chiziqli atamalar bilan cheklaymiz; natijani matritsa shaklida yozing

bu erda A - kengayishning chiziqli shartlarining koeffitsient matritsasi; q (t) vektor qoldiq nooziq atamalar ustuni.
A matritsa egri chiziqlari (xarakteristik tenglamaning ildizlari bo'lsin) chiziqli yaqinlashuv modellari) haqiqiy, salbiy va har xil: s₁ =α₁ va 1, s_n=-α so'ngra A matritsasini diagonali shaklida taqdim etib, biz olamiz O'zgartirilgan parametrlarga nisbatan quyidagi davlat tenglamalar tizimiga:



Shaklda davlat o'zgaruvchilarining ijobiy aniq funktsiyasini tanlaymiz




Oldingi formulani hisobga olgan holda ushbu funktsiyaning to'liq hosilasi bo'lishi mumkin quyidagicha yozilgan:

Z_i (t) cheksiz pasayish bilan, natijada paydo bo'lgan ikkinchi yig'indisi Bu birinchi summaga nisbatan cheksiz yuqori buyurtma bo'lishi mumkin. Bu shuni anglatadiki, davlat kosmosida har doim shunday mintaqa mavjud (s) (9.1-rasmga qarang) radiusli r, bu mintaqaga unchalik katta bo'lmaganligi uchun Z_i (t) qiymatlar ikkinchi summa birinchi qiymatdan kamroq bo'ladi. Ammo bu holda V '(t) lotin salbiy bo'ladi va ijobiy aniq funktsiya V (t) Lyapunov funktsiyasi bo'yicha. Ko'rsatilgan hududda V '(t) hosilasi faqat dastlab yo'qoladi, keyin asemptomatik xatti-harakatlar isbotlanadi "kichikda" chiziqli bo'lmagan tizimning muvozanat holatining jismoniy barqarorligi.

Agar chiziqli modelning xarakterli tenglamasi ildizlari orasida bo'lsa kamida bitta musbat ildiz s_k=a_k, so'ngra (9.7) ning o'ng tomoni z_k=0 (i≠k). va yetarli darajada kichik bo'lgan k har doim musbat bo'ladi, bu muvozanat holatining beqarorligini ko'rsatadi.

Shunday qilib, biz Lyapunovning birinchi usuliga asoslangan quyidagi xulosani chiqarishimiz mumkin: chiziqli bo'lmagan tizimning muvozanat holati (9.1) asemptomatik holda «kichik» holatda bo'lishi uchun уetarli. Shunday qilib, mayda burilishlar usuli bilan tuzilgan chiziqli modelning xarakterli tenglamasining barcha haqiqiy ildizlari manfiy, murakkab ildizlar esa salbiy real qismlarga ega. Agar chiziqli modelning xarakterli tenglamasining ildizlari orasida kamida bitta haqiqiy musbat bo'lsa yoki musbat bilan murakkab birlashgan konyugat ildizlar bo'lsa moddiy qismi, muvozanat holati beqaror. Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, chiziqli bo'lmagan tizimlarning harakat barqarorligi muammosi tashqi ta'sir bo'lmagan taqdirda muvozanat holatining barqarorligini o'rganish bilan cheklanib qolmaydi, doimiy ishlaydigan buzilishlar sharoitida harakatning barqarorligini o'rganish kerak bo'lishi mumkin.