Обыкновенное дифференциальное уравнение

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

3.1. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися (отделяющимися) переменными, если его правая часть представима в виде y' = f₁(x)f₂(y). Тогда, в случае , общим решением уравнения является .

3.1.1. Примеры физических задач, приводящих к уравнениям с разделяющимися переменными

3.1.1.1. Охлаждение тела

Пусть T — температура тела, T₀ — температура окружающей среды (T > T₀). Пусть Q — количество теплоты, c — удельная теплоёмкость. Тогда количество теплоты передаваемое окружающей среде до выравнивания температур выражается формулой Q = mc(T − T₀), или, в дифференциальной форме, . С другой стороны скорость отдачи тепла можно выразить в виде , где k — некий коэффициент пропорциональности. Исключая из этих двух уравнений dQ получаем уравнение с разделяющимися переменными:

.

Общим решением этого уравнения является семейство функций .

3.2. Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение называется однородным, если — однородная функция нулевой степени. Функция называется однородной степени , если для любого 0\!" align="bottom" width="75" height="38" border="0"/> выполняется равенство .
Замена приводит при 0\!" align="bottom" width="75" height="38" border="0"/> однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:

Подставив в исходное уравнение, получаем:

,

что является уравнением с разделяющимися переменными.

3.3. Квазиоднородные уравнения

Дифференциальное уравнение называется квазиоднородным, если для любого 0\!" align="bottom" width="75" height="38" border="0"/> выполняется соотношение .
Данное уравнение решается заменой :

В силу квазиоднородности, положив , получаем:

,

что, очевидно, является однородным уравнением.