Оддий дифференциал тенгламалар

Differentsial tenglamalar faniga kirish.
Oʼzgaruvchilari ajralgan va ajraladigan differentsial tenglamalar
0
x
y
3
2
M(2,3)

Taʼrif. Erkli oʼzgaruvchi va noʼmalum funktsiya hamda uning hosilalari yoki differentsiallarini bogʼlovchi munosabatga differentsial tenglama deyiladi.

• Taʼrif. Erkli oʼzgaruvchi va noʼmalum funktsiya hamda uning hosilalari yoki differentsiallarini bogʼlovchi munosabatga differentsial tenglama deyiladi.

Аgar nomaʼlum funktsiya faqat bitta oʼzgaruvchiga bogʼliq boʼlsa, bunday differentsial tenglama oddiy differentsial tenglama deyiladi.
Аgar nomaʼlum funktsiya ikki yoki undan ortiq oʼzgaruvchilarga bogʼliq boʼlsa, bunday differentsial tenglama xususiy hosilali differentsial tenglama deyiladi.
Дифференциал тенгламалар

Taʼrif. Differentsial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibi tenglamaning tartibi deyiladi.

differentsial tenglama ikkinchi tartibli oddiy differentsial tenglama;
birinchi tartibli oddiy differentsial tenglama
differentsial tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali differentsial tenglama.
- tartibli oddiy differentsial tenglamaning umumiy koʼrinishi
n
Taʼrif. Differentsial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qoʼyganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differentsiallanuvchi funktsiyaga aytiladi.

Differentsial tenglamaning yechimini topish jarayoni koʼpincha integrallash bilan bogʼliq boʼlganligi uchun bu jarayon differentsial tenglamani integrallash deb yuritiladi.

Taʼrif. Differentsial tenglama yechimining grafigi integral egri chiziq deyiladi.
tenglama umumiy koʼrinishdagi birinchi tartibli differentsial tenglama deb ataladi.
ga nisbatan yechish mumkin boʼlsa u quyidagicha yoziladi:
Hosilaning differentsial koʼrinishidagi yozuvidan foydalanib bu tenglamani differentsiallar ishtirok etgan shaklda ifodalaymiz :
Birinchi tartibli differentsial tenglama
bu yozuv simmetrik yozuv deb ataladi, chunki bu yerda x va u oʼzgaruvchilar teng huquqlidir.
Differentsial tenglamani, bitta funktsiya emas, balki funktsiyalarning butun bir toʼplami qanoatlantirishi mumkin. Ulardan birini ajratib koʼrsatish uchun argumentning biror qiymatiga mos keluvchi funktsiyaning qiymatini koʼrsatish kerak, yaʼni
boʼlganda koʼrinishdagi shart berilishi kerak.
Bu shartga boshlangʼich shart deyiladi (Koshi sharti)
Таъриф. Биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг умумий ечими деб қуйидаги шартларни қаноатлантирувчи (бунда С –ихтиёрий ўзгармас сон) функцияга айтилади: а) у ихтиёрий ўзгармас С нинг ҳар қандай қийматида дифференциал тенгламани қаноатлантиради; в) шарт ҳар қандай бўлганда ҳам, ихтиёрий ўзгармас С нинг шундай қийматини топиш мумкинки, функция берилган бошланғич шартни қаноатлантиради, яъни

Taʼrif. Differentsial tenglamaning umumiy yechimidan ixtiyoriy oʼzgarmasning mumkin boʼlgan qiymatlarida hosil qilinadigan yechimlar xususiy yechimlar deyiladi.

Umumiy yechimni oshkormas holda aniqlaydigan
munosabatga umumiy integral deb ataladi.

(1)
(2)

(3)
(4)
(5)
OʼZGАRUVCHILАRI АJRАLАDIGАN
DIFFERENSIАL TENGLАMАLАR
(6)

Differentsial tenglamaning berilgan boshlangʼich shart boʼyicha xususiy yechimini topish masalasi Koshi masalasi deyiladi.

boshlangʼich shartning berilishi izlanayotgan xususiy yechimga mos keladigan integral egri chiziq oʼtishi kerak boʼlgan

nuqtaning berilishini bildiradi.

Koshi masalasi

Teorema. Аgar funktsiya va uning xususiy hosilasi . nuqtani oʼz ichiga olgan biror D sohada uzluksiz boʼlsa,u holda . differentsial tenglamaning da , yaʼni . Shartni qanoatlantiruvchi yechimi mavjuddir va bu yechim yagonadir.

E’TIBORINGIZ UCHUN RAXMAT