Oddiy differentsial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari

4. Kollokatsiya usuli

Usulning nomlanishi «collocation» ingliz so`zidan olingan bo`lib, o`zaro joylashuv, taqsimlanish ma`nosini anglatadi.

Bu usulga ko`ra [a, b] kesmaning ichida n ta x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> nuqta olinib, ularda tafovut nolga tenglashtiriladi:
(5)
Olingan x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub> nuqtalarga kollokatsiya nuqtalari deyiladi. Olingan (5) chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini (CHATS) a<sub>i</sub> larga nisbatan
(6)
shaklda yozamiz.
Uni echib, a<sub>i</sub>, larni (3) ga qo`yib, (1), (2) masalaning taqribiy y_n(x) echim topiladi.


5. Integral eng kichik kvadratlar usuli

Bu usulda tafovut kvadratidan tuzilgan

integralning minimal qiymati izlanadi.

Ekstremumning zaruriy shartiga asosan integral minimal qiymatga ega bo`lishi uchun

(7)
bo`lishi kerak.
(7) shartlar (4) ga asosan a<sub>i</sub>, larga nisbatan chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga keladi
(8)
bunda - skalyar ko`paytma.
Agar L₁, ..., L_n funktsiyalar sistemasi [a,b] kesmada chiziqli erkli bo`lsa, u holda (8) sistema yagona yechimga ega bo`ladi.


6. Diskret eng kichik kvadratlar usuli

Bu erda I integralning minimumi o`rnida

yiғindining minimal qiymati izlanadi. Bunda x_i(a,b) – ixtiyoriy nuqtalar, Nn.
Bu usulda ham a_i larga nisbatan (8) sistemani hosil qilamiz. Faqat skalyar ko`paytma bu holda

ko`rinishida topiladi.
Agar N=n bo`lsa, u holda bu usul kollokatsiya usuliga keladi.