Oddiy differentsial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish usullari. Kollokatsiya, eng kichik kvadratlar, sohachalar, Galyorkin usullari

Tafovut funktsiyani tuzish;

(1), (2) masalani yechishga quyidagicha kirishamiz. Berilgan [a, b] kesmada ikki marta uzluksiz diffeentsiallanuvchi chiziqli bog’liq bo`lmagan <sub>0</sub>, <sub>1</sub>..., <sub>n</sub>,..., (ya`ni, C⁽²⁾[a, b] fazodagi funktsiyalar) funktsiyalar sistemasini tanlaymiz. Bunda, ₀ funktsiya (2) chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni l<sub>0</sub><sub>0</sub>=<sub>0</sub>, l<sub>1</sub><sub>0</sub>=<sub>1</sub>, qolgan funktsiyalar esa birjinsli chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi, ya`ni

l₀_i=0, l₁_i=0, i=1,2, ... .
Berilgan {_i} funktsiyalar sistemasini bazis funktsiyalar sistemasi deb ataymiz.

Bu funktsiyalar sistemasidan

(3)
funktsiyani tuzamiz. Bunda a_i, lar hozircha noma`lum sonlar.
l<sub>j</sub>, j=0,1 operatorlar chiziqli bo`lganligi uchun y_n(x) funktsiya (2) chegaraviy shartni qanoatlantiradi. Haqiqatdan,

Quyidagi
(4)
funktsiya tafovut deyiladi.
Tafovut - (1) tenglamaning chap tomonidagi u(x) ning o`rniga y<sub>n</sub>(x) funktsiyani qo`yganda, tenglamaning chap va o`ng tomonlarining farqini xarakterlovchi funktsiyadir. (4) tafovut a<sub>i</sub> sonlarga chiziqli boғliqdir. Agar a<sub>i</sub> sonlarning ayrim qiymatlarida munosabat nolga teng bo`lsa, y_n(x) funktsiya (1), (2) masalaning echimi bilan mos tushadi.
Lekin tafovutni nolga teng qilishga hamma vaqt erishib bo`lavermaydi. SHuning uchun a<sub>i</sub> sonlarni ma`lum usul bilan tanlab, tafovutni iloji boricha kichraytirishga harakat qilinadi. Buning natijasida (3) munosabat bilan aniqlangan y_n(x) funktsiya (1), (2) masalaning taqribiy echimi sifatida qabul qilinadi.
Taqribiy usullarning ko`pchiligi a<sub>i</sub> sonlarni aniqlash yo`li bilan bir-biridan farq qiladi. Quyida shulardan ayrimlarini qarab o`tamiz.