«Олий математика» кафедраси

Chiziqli bir jinsli, o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglamalar.



ko’rinishdagi tenglamalar chiziqli bir jinsli, o’zgarmas koeffitsiyentli differensiyal tenglamalar deyiladi. Bu yerda lar ihtiyoriy o’zgarmas sonlar .
Uning hususiy yechimlarini ko’rinishda qidiramiz.
larni berilgan tenglamaga qo’yib va ikkala tomonini ga bo’lib

harakteristik tenglamani topamiz.
Uni yechib ₁ va ₂ ildizlarini topamiz.
3 hil hol bo’lishi mumkin:
1). _{1 2} haqiqiy.
2) qo’shma kompleks sonlar ,
3) ₁ = ₂ 2 karrali haqiqiy ildiz .
1) Agar harakteristik tenglamaning ikkita turli haqiqiy ildizlari bo’lsa u holda berilgan tenglama va hususiy yechimlarga ega bo’ladi. Ularning chiziqli kombinatsiyasi
berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
2) Agar bo’lsa berilgan tenglama hususiy yechimlarga ega bo’ladi va ularning chiziqli kombinatsiyasi
berilgan tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi
3) ₁ = ₂ bo’lsa berilgan tenglamaning bitta hususiy yechimi
, ikkinchisi esa bo’ladi.
esa umumiy yechim bo’ladi.


Chiziqli bir jinslimas, o’zgarmas koeffitsiyentli differensiyal tenglamalar



Bu tenglamaning umumiy yechimi ko’rinishda izlanadi. Bunda – berilgan tenglamaga mos, bir jinsli differentsiyal tenglama ning umumiy yechimi.
esa berilgan tenglamani qonoatlantiruvchi biror hususiy yechim.


Differensiyal tenglamalar sistemasi

Bu sistemani yYechishining usullaridan biri noma’lumlarni yo’qotish usulidir. Bunda tenglama bir noma’lumli ikkinchi darajali tenglamaga keladi va uni yechib birinchi noma’lum topiladi so’ngra ikkinchi noma’lum topiladi.


Koshi masalasi.
tenglama berilgan. Masala bu tenglamaning
boshlangish shartni bajaruchi hususi yechimini topish bo’lsin. Avvalo berilgan tenglamani biror usul bilan yechib uning umumiy yechimini topamiz: . So’ngra x va y o’zgaruvchilar o’rniga larni qo’yib C ning mos qiymatini topamiz Uni umumiy yechimiga qo’yib hususiy yechimini topamiz.