«Олий математика» кафедраси

6 – masala. y''+9y=cos2x tenglamaning umumiy yechimi topilsin.
Yechish: Bu yerda xarakteristik tenglama qo'shma kompleks ildizga ega bo'ladi:
U holda bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning xususiy yechimini quyidagicha izlaymiz:
A va B o'zgarmas sonlarni aniqmas koeffitsientlar usulidan foydalanib topamiz:


Bularni berilgan tenglamaga qo'yamiz

Bundan



bo'ladi .
Umumiy yechim esa:
Javobi
7 –masala.

tenglamalar sistemasini umumiy yechimi topilsin va turg'unligi tekshirilsin.
Yechish: a) Yechimni bitta bir jinsli tenglamaga keltirib topish;
Sistemani birinchi tenglamasini differentsiallaymiz.
bunda ning qiymatini ikkinchi tenglamaga qo'yamiz:
Bu tenglamaning umumiy yechimi


yoki ni hosil qilamiz.
Shunday qilib , ixtiyoriy o'zgarmaslar uchun sistemaning umumiy yechimi:

b) Sistemani matritsa usulida yechamiz.
Berilgan sistemani matritsa ko'rinishida yozamiz:

bo'ladi.
Bu yerda: - xaqiqiy xususiy yechimining fundamental matritsasi: ixtiyoriy o'zgarmasining matritsasi.
Xarakteristik tenglama tuzamiz:
Uning ildizi
Endi B matritsa tuzamiz (xarakteristik tenglamaning ildizlari xar xil haqiqiy bo'lganda B matritsa A matritsaning kononik ko'rinishiga teng bo'ladi):

Fundamental kanonik matritsa tuzamiz:

matritsa tuzamiz, u A·S=S·B shartni qanoatlantiradi.

sonlarni topish uchun 4ta tenglamadan 2ta har xil tenglamani olamiz.



larni hosil qilamiz. Demak,

Berilgan sistemaning yechimini fundamental matritsasi,

yoki

bo'ladi.
haqiqiy va mavhum qismlarini ajratib



Javobi:

v) Berilgan tenglamalar sistemasini x(t)=0 , y(t)=0 tinch nuqtadagi trivial yechimini turg'unligini tekshiramiz.

Xarakteristik tenglamalarni ildizi qo'shma kompleks bo'lganligi 𝛌=±i va Re𝛌=0 , ℐm 𝛌 = ± 1 ≠ 0 dan tinch nuqtada sitema turg'undir va tinch nuqta – markazdir.