Олий математика сизга та=дим этилаётган мазкур маъруза матнларида «Олий математика»

19-МАВЗУ:РАЦИОНАЛ КАСРЛАРНИ, ИРРАЦИОНАЛ ВА ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛАРНИ ИНТЕГРАЛЛАШ.
Режа:

1. 
   Содда каср ва рационал функцияларни интеграллаш.
   
2. 
   Иррационал функцияларни интеграллаш.
   
3. 
   Тригонометрик функцияларни интеграллаш.
   

Адабиётлар: 1, 2, 3, 4.
1. Содда каср ва рационал функцияларни интеграллаш.
Ушбу А/(х-а), А/(х-а)^m, (Bx+C)/(x²+px+q), (Bx+C)/(x²+px+q)^m (m>1) кыринишдаги касрлар содда касрлар деб аталади. Бунда А, В, С a, p, q - ызгармас ща=и=ий сонлар, m - натурал сон, x²+px+q - квадрат учщад (ща=и=ий илдизларга эга эмас).
А) А/(х-а) содда касрнинг ани=мас интегралини щисоблаймиз:
A/(x-a)dx=Adx/(x-a)=Ad(x-a)/(x-a)=Aln x-a+C.
Б) A/(x-a)^m (m1) содда касрнинг ани=мас интегралини щисоблаймиз:
A/(x-a)^mdx=A(x-a)^-m d(x-a)=A((x-a)^-m+1)/(-m+1)+C=A/(1-m)(x-a)^m-1+C.

2. 
   (Bx+C)/(x²+px+q) содда касрнинг ани=мас интегралини щисоблаш учун аввало бу касрнинг махражида турган x²+px+q квадрат учщадни ызгартириб ёзиб оламиз:
   

x ² + px + q = ( x + p / 2 )² + a², бу ерда a² = q - p² / 4 , у щолда кыриш мумкинки(Bx+C)/(x²+px+q)dx=(B/2)ln(x²+px+q)+(C-Bp/2)(1/q-p²/4) arctg(x+p/2)/q-q²/4+C былади.
Ушбу P_n(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ бутун рационал функциянинг интеграли осон щисобланади:
P_n(x)dx=[a₀+a₁x+a₂x³+...+a_nxⁿ]dx=a₀x+a₁(x²/2)+a₂(x³/3)+...+a_n((xⁿ⁺¹)/(n+1)+C.
Каср рационал функцияP_n(x)/Q_m(x)=(a₀+a₁x+a₂x²+..+a_nxⁿ)/
/(b₀+b₁x+b₂x²+...+b_mxⁿ)ни интеграллаш бирмунча мураккаб былади. Агар P_n(x)/Q_m(x) ноты`ри каср (n>m) былса, унинг бутун =исми ажратилиб бутун рационал функция ва ты`ри каср йи`индиси кыринишида ёзилади: P<sub>n</sub>(x)/Q<sub>m</sub>(x)=P<sup>1</sup><sub>n</sub>(x)+P<sup>11</sup><sub>n</sub>(x)/Q<sub>m</sub>(x).
У щолда (P<sub>n</sub>(x)/Q<sub>m</sub>(x))dx=P<sup>1</sup><sub>n</sub>(x)dx+(P<sup>11</sup><sub>n</sub>(x)/Q<sub>m</sub>(x)dx былади. Демак, ю=оридаги P<sub>n</sub>(x)/Q<sub>m</sub>(x) ни интеграллаш ты`ри каср P¹¹_n(x)/Q_m(x) ни интеграллашга келади. Ты`ри касрни интеграллаш учун, аввало бу касрларни содда касрлар йи`индиси сифатида ёзиб олинади, сынг уларнинг интеграллари топилади.

2.