Oliy matematika asoslari

+ C i f ik- lH x ) g " ( x ) + . . . + C ‘lf lk- , + " ( x ) g {i>(x) +
+
- g u + u (x) + . . . + f ' ( x ) g {k' (x)
+ / ( * ) .g l* + " (jc ) -
= f ' k + " ( x ) g ( x )
+ (C24-Ci)/‘*»(Jc)«r (JC) + ••• +
+ ( C i + C ' r ,) / ,*"'+,)( x ) - g (,,( J c ) + - + / W f f ' ‘+ n (Jc) •
2 5 3 .
www.Orbita.Uz kutubxonasi

---

Аг а р C'k-\-C 'k 1 = С ‘к+ 1 т ен г л и к н и э ъ т и б о р г а олсак, у х о л д а у ш б у
[ f ( x) ■ g ( x ) Y k+,) = f (k+l)( x ) g ( x ) + C lk +j w ( x ) g ' ( x )  +
ф о р м у л а г а эг а б у л а м и з . Б у эс а в) 
формула. нинг n = k - \ - 1 да 
т у г р и л иг ин и б и л д и р а ди . Д е м а к , в) ф о р м у л а б а р ч а п л а р учун 
т у г р ид и р .
О д а т д а бу ф о р м у л а Л е й б н и ц ф о р м у л а с и  д ей и л а д и .
М и с о л . Ушб у у = х 2е х ф у н к ц и я н и н г 1 0 0 - т а р т и б л и хосил ас ини 
Хисобланг.
f ( x ) = ех, g ( x ) = х 2 деб, сунг Л е й б н и ц ф о р м у л а с и д а н ф о й д а л а н и б
т о п а м и з :
*/(.оо)== ( О (100,л:2+ С ! о о ( 0 т (х2)' + С2ш (е*у9*(х2)" =
= * V + 2 0 0 ^ + 1 0 0 - 9 9 е \
f ( x )  ф у н к ц и я x d (а, Ь) н у к т а д а иккинчи т а р т и б л и f " ( х)  х о с ил а г а
э га булсин.
5 - т а ъ р и ф. f ( x ) ф у н к ц и я д и ф ф ер ен ц и а лы d y н и н г х £ ( а , Ь )  
н укт а д а ги д и ф ф ер ен ц и а лы ф у н к ц и я н и н г и к к и н ч и тартибли диф ф е- 
р е н ц и а л и д еб ат алади в а d2f ( x ) ё ки d 2y к а б и б е л г и л а н а д и .
Д е м а к , d 2y = d ( d y )  ёки d 2f ( x ) = d ( d f ( x ) ).
Д и ф ф е р е н ц и а л л а ш к о и д а с и г а кура :
d 2y = d ( d y ) = d ( y ' d x ) = d x d ( y ' ) = d x ( y ' ) ' d x = y " ( d x ) 2.
Ш у н д а й ки л иб , ф у нк ц и я н и н г иккинчи т а р т и б л и д и ф ф е р е н ц и а л и
унинг иккинчи т а р т и б л и х о с и л а с и о р ка л и к у й и д а г и ч а ё з и л а ди :
d 2y = y " d x 2 
( d x 2 = d x d x = ( d x ) 2) .
Ф у н к ц и я н и н г учинчи, т у р т и нч и ва х о к а з о т а р т и б д а г и д и ф ф е р е н ц и -
а л л а р и худди ш у н г а у х ш а ш т а ъ р и ф л а н а д и .
У м у ма н f ( x )  ф у н к ц и я
х в (а, Ь) 
н у к т а д а
и - т а р т и б л и
f {n)(x) 
х о с и л а г а эга булсин. Ф у н к ц и я н и н г ( п — 1 ) - т а р т и б л и д и ф фе ре нц и а - .
ли d {n~ uy  д а н о линг а н д и ф ф е р е н ц и а л f ( x )  ф у н к ц и я н и н г х  н у к т а д а г и
п- т а р т и б ^ д и ф ф е р е н ц и а л и д е б а т а л а д и ва d ny  ёки d nf ( x )  каби 
б е л г и л а н а д и .
,
Д е м а к ,
d ny = d ( d n~' y ) .
Ю к о р и д а г и д е к бу х о л да х а м ф у нк ц и я н и н г и- т а р т и б л и д и ф фе -
р е н ц и а л и н и унинг п- т а р т и б л и хо с ил а с и о р к а л и
. d"y = y [t,)d x " ■
к у р и н и ш д а ё з и л иш и н и м а т е м а т и к и н д у к ц и я усули ё р д а м и д а к у р с а -
т иш мумкин.
f ( x )  ва g ( x )  ф у н к ц и я л а р (а, Ь) и н т е р в а л д а б е р и л г а н б у л и б , у л а р
х £ (а, b ) н у к т а д а г а- тарт иб л и 'd nf ( x ), d ng ( x )  д и ф ф е р е н ц и а л л а р г а
254

---

л а булсин. У х о л да у ш б у ф о р м у л а л а р у р ин л и б у л а д и :
a) [ c - f ( x ) ] = c d " f ( x ) ;  с — co n s t ;
b) d ' \ f ( x ) ± g ( x ) ] = d " f ( x ) ± d " g ( x ) \
в) d ' \ f ( x ) - g ( x ) ] = d " f ( x ) - g ( x ) + C ' J n~ ' f ( x ) - d g ( x )  + . . . +
+ f ( x ) d ng ( x ) .