Oliy taʼlim fan va innovatsiyalar vazirligi shahrisabz davlat pedagogika instituti pedagogika fakulteti

1.2. Teylor qatori va funksiyani Teylor qatoriga yoyish
Aytaylik, funksiya nuqtaning biror

atrofida istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lsin. Bu hol funksiyaning Teylor formulasini yozish imkonini beradi:
,
bunda -qoldiq had.
Modomiki, funksiya da istalgan tartibdagi hosilaga ega ekan, unda
(1)
darajali qatorni qarash mumkin bo’ladi.
(1) darajali qatorning koeffitsientlari sonlar bo’lib, ular funksiya va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalangan.
(1) darajali qator funksiyaning Teylor qatori deyiladi.
Xususan, bo’lganda (1) darajali qator ushbu

ko’rinishga keladi.
Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib, uning nuqtadagi Teylor qatori
(2)
bo’lsin. Bu qatorning qoldiq hadini deylik:
.
1-teorema. (2) darajali qator da ga yaqinlashishi uchun ushbu

Teylor formulasida, uchun

bo’lishi zarur va yetarli.
Zarurligi. Aytaylik, (2) darajali qator da yaqinlashuvchi, yi\indisi bo’lsin. Tahrifga binoan

bo’ladi, bunda
.
Ravshanki, da bo’lishidan

bo’lishi kelib chiqadi.
Yetarliligi. Aytaylik, da bo’lsin. U holda

bo’lib, undan

bo’lishi kelib chiqadi. Demak,

bo’ladi.
Odatda, bu munosabat o’rinli bo’lsa, funksiya Teylor qatoriga yoyilgan deyiladi.
Funksiyani Teylor qatoriga yoyish. Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosila-larga ega bo’lsin.
2-teorema. Agar da

bo’lsa, funksiya da Teylor qatoriga yoyiladi:
(3)
Ma’lumki, funksiyaning Lagranj ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi quyidagicha bo’ladi:
,
bunda,
.
Teoremaning shartidan foydalanib topamiz:
.
Ravshanki,
.
Demak, da

bo’lib, undan qaralayotgan funksiyaning Teylor qatoriga yoyilishi kelib chiqadi.