Oliy va o'rta m axsus ta'lim vazirligi n iz o m iy n o m id a g I t o sh k e n t davlat pe d a g o g ik a u n IV er siteti
Download 1.85 Mb. Pdf ko'rish
|
Differensial-tenglamalar-kursidan-misol-va-masalar-toplamlari (1)
- Bu sahifa navigatsiya:
- Щ у , , у ) =
|
•• У„ у !" v r 1’-
•л-Г“ determ inant Vronskiy 5
yoki
deyiladi. Vronskian funksiyalar sistem asining chiziqli bog’liqligi yoki chiziqli erkliligini tekshirish vositasi hisoblanadi. Uning qo ’llanishi quydagi ikkita teorem aga asoslangan. 1-teorema. A gar
funksiyalar chiziqli bog’liq b o ’lsa, u holda sistem aning vronskiani aynan nolga teng bo’ladi. 2-teorema. Agar y h y 2 y„ chiziqli erkli funksiyalar b o ’lib, ular birorta n- tartibli chiziqli bir jin sli differensial tenglam ani qanoatlantirsa, u holda bunday sistem aning vronskiani hech bir nuqtada nolga aylanm aydi. 2 .
n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglam aning y 2, ...,
y„ xususiy yechim lar sistemasi
ta chiziqli erkli funksiyadan iborat b o ’lsa, bu sistem ani fundamental sistema deymiz.
5 Yuzef Vronskiy (1776- 1853) - polshalik matcmatik va faylasuf. 1-teorema. A gar y b y 2, ....
y„ funksiyalar (2) tengiam a yechim larining fundam ental sistem asini tashkil etsa, u holda ulam ing
chiziqli kom binatsiyasi bu tenglam aning umumiy yechim i b o ’ladi. 2-teorem a. Chiziqli bir jinsii b o ’lm agan (1) differensial tenglamaning um um iy yechim i bu tenglam aning у xususiy yechim i va unga m os bir jin sii ( 2) tenglamaning
um um iy yechim i y ig ’indisidan iborat, y a ’ni y = y + y . A gar (2) ning chiziqli erkli y Jt y2, y„ yechim lari m a ‘lum bo’lsa, u holda о 'zgarmaslami variatsiyalash usulini qo’IIab, ( 1) ning um um iy yechimini
form ula b o ’yicha topish m um kin, bundagi СДдг) lar Y,C,Xx)y,f"=
0, (t = 0,( n - 2)), *=l Z c . W y r ^ A x ) (3)
sistem adan topiladi. Misol. Berilgan yechim lam ing fundam ental sistem alariga mos bir jin sii differensial tenglam alam i tuzing. a) e'*, e' Yechish. belgilaym iz) e determinanti ,
1, x, e'. a)
Izlanayotgan tenglam aning ixtiyoriy yechim i (uni u deb ' ,ex larga chiziqli bog’Iiq bo’ladi. Shu sababli ulam ing V ronskiy e e у W(e x,ex,y)= -e ~ x ex y'
= 0 e " e ‘ y" B undan
y " - y = 0 k o ’rinishdagi izlanayotgan tengiam a hosil b o ’ladi. b) Izlanayotgan tenglam ani a) m isoldagiga o ’xshash tuzamiz: 3
4 ‘
X у W ( x \ x \ y ) = 3x2 4x3 y' 6x I2x2 y" =
4x 6y"+ 36
x*y +
6x V - 24x4y - 12
x5y'~ 3x6y" = 0
x 6y " -6 x 5y'+ 1
= 0 ,
x 2y"-6xy'+ I2 y = 0. c) Izlanayotgan tenglam aning istalgan yechim i e'.x, x' larga chiziqli b o g ’Iiq b o ’lgani uchun ulam ing Vronskiy determ inanti
0 b o ’ladi. Bu tenglam ani ochib yozsak:
е х х у е'
1 Зхг у' ех
0 6х у" г '
0 6 У "
Chap tom ondagi determinantdagi birinchi ustunda turgan e* ni determ inant belgisining oldiga chiqarib, so’ngra hosil qilingan determ inantni oxirgi ustun elem entlari bo’yicha yoysak, quyidagiga ega bo’lamiz: 1
jc
3 у 1 1 3 jc 2
1 0 6
x y " 1 0 6
y m г 1 1
Зх2 1
1 х х 3 1
\
( - D 5^ 1 0 6х + ( -
1) У 1 0 6х + ( - l ) V 1 1 3jc2 + ( - i ) V 1 1 Зх2 1 0 6
1 0 6 1 0 6
1 0 бдс J =ex( - y ( 6 x - 6 ) + y \ 6 x 2 - 6 x ) - y " ( 6 + 3x3 - x 3 - 6 x ) + y ”(6x + Злг
3 - jc3 - 6x 2)) = =
e*((2x3 - 6x2 + 6x ) y m- (
(
(
2 - 6
Hosil
qilingan tenglam aning ikkala tom onini 2 e 'g a qisqartirsak, ushbu k o ’rinishdagi
l)y '-3 (jc - l)y = 0 differensial tenglam aga ega bo’lamiz. d) Izlanayotgan tenglam a ushbu shaklda bo’ladi: 1
0 1
ex у' 0 0
ex у' 0 0
e x у'" = 0. Bu tenglam aning chap tom onidagi determ inantni c) m isoldagiga o ’xshash hisoblaymiz: x
1 у O i l y ’ 0 0 1 у 0
0
1 / ex( - \ ) s у 0 1 1
0 0 1 О О
1 +(- i) V
1 X 1 0 О 1
О О 1 1 X 1 1 д: 1 + ( - > ) V 0 1 1 + ( - i ) V 0 1 1 О о
о
Hosil qilingan tenglam aning ikkala tomonini ex ga qisqartirsak, quyidagiga ega b o ’la m iz :y ''-y " = 0 .
Ushbu y"~ pt (x)y'+ p 2( x ) y = 0 ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglam aning bitta yechim i y,
y, (x) m a‘lum bo’lsa, uning umumiy yechim i Щ у , , у ) = У\У
-/ж*»* У,'У' ko’rinishdagi Ostrogradskiy-Liuvill form ulasi yordam ida topish mumkin. Bu form ulagaasosan berilgan tenglam aning yechim i
tenglam aning yechim i b o ’ladi. Buni integrallash uchun uning har ikki tom onini ga k o ’paytirib, У d_ dx _У_ j _
У\У_^уУ_ tengiikni hisobga olsak, - ' У y j У>
У. У , — I — I = tenglam ani hosil qilam iz. Bundan — = J
-----
dx + C, yoki У ,2 '
Ух
У ,2 y = Cly l +C2y l i —
\ d* kelib chiqadi. У\ W
Misol.
O ’zgarm aslam i variatsiyalash usulidan foydalanib, ushbu
xy"+(2x - l ) y '= - 4 x 2 ( l ) b i r jinslim as tenglam aning um um iy yechimini toping. 2x — \ Yechish. A w a l berilgan tenglam ani y"+ --------
y' =
-Ax ( x * 0 ) x 2x —
1 k o ’rinishda yozib olam iz. M os bir jin sli y + --------y '= 0 tenglamani y'= p va
x y"= p' deb, o ’zgaruvchilari ajraladigan , 2* - 1
p + --------
p = 0 x tenglam aga keltiriladi. O ’zgaruvchilam i ajratib, so ’ngra integrallasak, quyidagilarga ega b o ’lamiz:
1п|р| = -2дг + 1п|дг| + 1п|С,|, In p —
Ctxe~2r P C.x = - 2 x p n iy ' ga alm ashtiram iz: y ’= Csxe 2x. Hosil qilingan tenglamani integrallasak, bir jin sli tenglam aning um um iy yechim i у
kelib chiqadi. Berilgan tenglam aning um um iy yechim ini
+
])+C2(x) ko’rinishda izlaymiz. (3) ga k o ’ra C t(jc) va C 2(jc) funksiyalar
t С,'( х У 21Г(2 х + ] ) + С 1'( х ) = 0 С ,'(л) = е 2' , C ,M = V + C „ * С1’( х ) = - 2 х - I , С2(х)= - х 2
+ С 2
С](х) va C
2(jc) funksiyalami (2) ga q o ’ysak berilgan (1) tenglam aning umumiy yechim i quyidagi k o ’rinishda bo’ladi . Berilgan yechim lam ing fundam ental sistem alariga mos bir jin sli differensial tenglamalam i tuzing ( 2.1 -2.8). 2.1. у, (* ) = •*,
2.5.
(2x + l ) y n+ ( 4 x - 2 ) y '- S y = 0
tenglam aning bitta
y l = e '2x xususiy yechimi m a‘lum b o ’Isa, uning umumiy yechim ini toping. 2.6. (4x2- x ) y " + 2 ( 2 x - l ) y '- 4 y = ]2x2- b x
tenglam a y, = - xususiy yechim ga ega. Bu tenglam aning umumiy yechimini toping. 2.7.
y ”+tgxy'+cos2 xy = 0 tenglam aning bitta yechim i y l = co s(sin x) b o ’lsa, uning y( 0)=0, j ' ,(0)=l boshlang’ich shartlarini qanoatlantiradigan yechim ini toping. 2.8.
= 0
tenglam aning y t = x ,y 2 = x 2
xususiy yechim lari yordam ida uning umumiy yechim ini toping. O ’zgarm aslam i variatsiyalash usulidan foydalanib, quyidagi bir jinslim as tenglamalarning um um iy yechim ini toping (2.9-2.12). 2.9 у "+ у 7gx = cos
2.10. x In
х у у ' = lnJ *
2.1 1. у “- у ’ =
e2' cose'.
2.12. xy ”- ( l + 2x2^ y ’ = 4x'e' . 2.13.
6 m uzunlikdagi zanjir stol ustidan ishqalanishsiz sirpanib tushm oqda. A gar harakat zanjim ing I
uzunlikdagi bo’lagi osilib turgan paytdan boshlansa, butun zanjir qancha vaqt ichida sirpanib tushadi? 2.14. A gar r=0 d a s=0 va f=5 da s=20 b o ’lsa v a harakatning tezlanishi vaqtga b o g ’liq ravishda
form ula bilan ifodalansa, nuqtaning harakat qonunini toping. 2.15.
1 massali m oddiy nuqta m arkaz tom on to ’g’ri chiziqli harakat qilm oqda. Uni m arkazga
teng bo’lgan kuch bilan itaradi. Bu yerda jc-markazdan m oddiy nuqtagacha bo’lgan oraliq. A gar
b o ’lganda x=a va
~ = k a b o ’lsa, dl harakat qonunini toping. 3-§. O 'tgnm ns ko«fflfr»entli cbiziqti differensial ten g to w h r. n-tartibli o ’zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsii differensial tengiam a + a l_y*"'i! + ... + a„y = 0 (I)
k o ’rinishga ega. Bu yerda barcha aiya2,...,an koeffitsientlar haqiqiy o ’zgarm as sonlardir. Bu holda xususiy yechim lam ing fundam ental sistem asini, binobarin, um um iy yechim ini izlash s o f algebraik amallami bajarishga -и - darajali bitta algebraik tenglam ani, ya’ni ushbu
+ ... + anAr + a„=
0 ( 2) xarakteristik tenglam ani y echishgakeltiriladi. ( 2) tenglamaning har bir m >
0 karrali haqiqiy ildiziga umumiy yechimdagi (c, + C2x + ... + Cmx ^ ) e " q o ’shiluvchi m os keladi. ( 2)
tenglam aning har b ir m >
0 karrali a ±
jii q o ’shm a kompleks ildizlar ju ftig a umum iy yechim da е “ ((л, + A2 x +...+ d m_,xm ')cosfix + (в 1 + Вгх +...+ Bm ,x"
1 )sin>®c) q o ’shiluvchi mos keladi. B ir jinslim as
+ а,У "_1) + ...+ any = / ( x ) (3)
tenglam aning у um um iy yechim ini topish uchun, 2-§ dagi 2-teoremaga ко’ra uning birorta xususiy yechim ini bilish yetarlidir, bunda unga m os bir jinsii ( 1) tenglam aning um um iy yechimi yuqorida keltirilgan l ) v a 2) qoidalar b o ’yicha topiladi. Agar (3) ning o ’ng to m o n id a ko’rsatkichli funksiyalar, sinuslar, kosinuslar va k o ’phadlar yoki ulam ing butun ratsional kom binatsiyalari turgan bo’lsa, u holda uning xususiy yechim ini topishda aniqm as koeffitsientlar usulini tatbiq qilish m um kin. Bu usul xususiy yechim ning shaklini bilishga asoslangan. Tabiiyki, xususiy yechim ning o ’ng tom onning shakliga o ’xshash shaklda izlash kerak. Biroq xususiy yechim ning shakli tenglam aning chap tom onigaham bo g ’Iiq bo’ladi.
va
b lar o ’zgarm as sonlar, P„(x) va
Qm(x) mos ravishda darajalari n va
m b o ’lgan ko’phadlar bo’lsin. (3) ning o’n g to m o n i f ( x ) =
e“ (Pn
jc ) co s bx + Qm (x)sin
bx)
(4) k o ’rinishda b o ’lsa, quyidagi hollar vujudga keladi: I -hoi.
a ± ib (2) ning ildizi b o ’lm aganda xususiy yechim >> = ( x ) ■ s i n fa x + $ ( : < : ) • c o s f o e ) ( 5 ) k o ’rinishga ega, bu yerda P i ,Q i — /= m ax(«,m ) darajali ko’phadlar. 2-hol.
(
2) ning 5 karrali ildizi b o ’lganida xususiy yechim y = eax- x s (P,(x )-s in fa x + 0 ,(x ) •
( 6) k o ’rinishga ega. Наг ikki holda ham P„Q, ko’phadlam ing koeffitsientlari aniqm as koeffitsentlar usuli yordam ida topiladi.
Quyidagi bir jinsli tenglamalarning um um iy yechim ini toping. a) y"-5y'+(iy = 0.
b) /" + 6 У + 1 )y'+6y = 0.
c ) y ”-1 0 y + 2 5 y = 0 . d
Yechish. a) Bu tenglama uchun r 2 - 5 r + 6 = 0 xarakteristik tenglam a rx = 2 , r2 = 3 ildizlarga ega, shuning uchun um um iy yechim ushbu ko’rinishda bo’ladi:
=
Cte2x +
С2егх b) Berilgan tenglam a uchun xarakteristik tenglam a: г 1 + 6 гг
+1 \r + 6 = 0 ko’rinishda bo’ladi. Chap tom onini k o ’paytuvchilarga ajratib, (r + l) ( r 2 + 5
б ) = 0 ni hosil qilamiz, bu yerdan rx = —1,
гг = - 2 , r 3 = -3 . Differensial tenglam aning umumiy yechimi: у =
Cse
1 + С г
3*
c) у -Ю у + 2 5 у = 0 tenglamaga mos xarakteristik tenglam a r 2 -1 0 /- + 25 = 0 ikki karrali
= 5 ildizga ega, binobarin, umumiy yechim quyidagicha b o ’ladi: у =
(С] +
С \х У “ d)
y ”+2y'+5y = 0 tenglamaga mos xarakteristik tenglam a r 2 +
2r + 5 = 0 ning ildizlari
dem ak, tenglamaning um um iy yechim i: у - e~x(Ct cos 2* + C 2 sin
1 g m assali zarra A nuqta tom on shu nuqtadan zarracha bo’lgan qadar m asofaga proporsional bo’lgan tortish kuchi ta ’sirida to ’g ’ri chiziqli harakat qilm oqda. 1 sm
masofada 0,1 D ina kuch ta ’sir etadi. M uxit qarshiligi harakat tezligiga proporsional va u tezlik 1 sm/s bo’lganda 0,4 D inaga teng. t =0 boshlang’ich m om entda zarra
nuqtadan 10 sm o ’ngroqda joylashgan va tezlik 0 ga teng. Y o’lning vaqtga b og’lanishini toping.
Zarraga ikkita kuch ta ’sir etadi: F. — kxx va
F2 = k2 — , bu yerda x-t dt m om entda o ’tilgan y o ’I, - ^ - te z lik . k\ v a
k2 lami
A L = o ,i= * , ^ L = o ^ = *2 shartlardan topamiz: kt =
0,1; k2 = 0,4.
/•] -tortish kuchi sifatida manfiy bo’ladi. U holda ushbu harakat tenglamasi: m ^—%- = - F . - F 2 m=\ da
d t2
' 2 ~ т = -0,1л:- 0 , 4 — yoki + 0 ,4 — + 0,1л = 0 ko’rinishga ega bo’ladi.
Bu tenglam aga m os xarakteristik tenglama r 2 +0,4/- + 0,1 = 0 b o ’lib, uning ildizlari r, 2 = -0,2 + 0,245/ dan iborat. Demak, tenglam aning umumiy yechim i x = e
0,:!'(C | cos0,245f + C 2 sin0,245<) bo’ladi. dx *|,.° =
10, — 1,_0= 0 shartlar j C , = 1 0 , j - 0,2C, + 0,245C 2 = 0 tenglam alar sistem asiga olib keladi. Bu sistemadan C, = 10, C 2 =8,16 lam i topamiz. D em ak, izlangan yechim jc = e
(lO cos0,245; + 8,16 s in 0,245») Misol. Quyidagi bir jinslim as tenglam alam ing um ym iy yechim ini toping. a) y"-4y'+4y =
x 1. b) ly " -y '= \4 x . с) y"+4y'+3y = 9e ~J*.
d) y ”+4y’~2y =
8sin 2x. e )
/ )
y"+2y'+5y = e r cos2x. Yechish. a) D astlab y"-4y'+4y = x 2 tenglam aga mos bir jin sli y"-4y'+4y=Q tenglam aning um um iy yechim ini topamiz. U ning r 1 - 4r + 4 = Q
xarakteristik tenglam asi r)2 =2 karrali ildizga ega, shuning uchun umumiy yechim ushbu ko’rinishda yoziladi:
A gar
a= 0 va
b= 0 b o ’lsa, (4) da f ( x ) = P„{x) k o ’rinishda bo’ladi. Bu holda (5) ga ko’ra 0 soni xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, xususiy yechimni y = Q„(x) ko’rinishda, 0 soni xarakteristik tenglam aning.? karrali ildizi bo’lganida esa xususiy yechim ni
=
x ’Q„ ( x ) k o ’rinishda izlash kerak. Berilgan tenglam aning o ’ng tom oni 2-darajali ko’phad va 0 soni xarakteristik tenglam aning ildizi bo’lmagani sababli, xususiy yechim ni у =
Лх2 +
Bx +
С k o ’rinishda izlash lozim. N om a‘lum A, В va С koeffitsientlam i topish uchun v, ni va uning hosilalarini tenglam aga q o ’yam iz ham da chap va o ’ng tom ondagi koeffitsientlam i taqqoslaym iz:
= -
v 7 4 2 8 Demak, xususiy yechim : j) = + 4x + з ) . Umumiy yechim : у = у + У = (C, + C2x)e2’ + - ( 2 x 2 + 4 x + 3) . b)
tenglam aga mos bir jinsli tenglam aning um um iy yechim i: £ 1
= C\ +
Сге ' chunki xarakteristik tenglam aning ildizlari r ,= 0 , r 2 = —. 0 soni xarakteristik tenglam aning oddiy
ildizi bo’lgani uchun xususiy
yechim ni у = х(А х + В) ko’rinishda izlash kerak. Tegishli tenglam alardan A, В lam i topam iz: A=-7, fi=-98.
Demak, xususiy yechim : у = C\ +
C,e7 - I x 1 - 9 8 jr.
c) y"+4y'+3y =
9e 3r tenglarnaga m os bir jin sii tenglam aning um um iy yechim ini osongina topam iz: у = C ,e'3x + C2e ~x. A gar b =0 b o ’lsa, (4) ifoda f { x ) = emPn{x) ko’rinishda b o ’ladi. Bu holda a soni xarakteristik tenglam aning ildizi bo’lmasa, xususiy yechim ni (5) formulaga k o ’ra
ko’rinishda, a soni xarakteristik tenglam aning j karrali ildizi b o ’lganda esa xususiy yechim ni ( 6) form ulaga ko’ra у =
x se“Q (x) ko’rinishda izlash kerak. Berilgan tenglam aning o ’ng tomoni
k o ’rinishida bo’lib, a =-3
xarakteristik tenglam aning oddiy ildizi bulgani uchun xususiy yechim ni y = A x e ~31
shaklda izlaymiz. Bu yechim ni tenglarnaga q o ’yib, - 2 A e ',x ~ 9 e 3rni hosil qilam iz, 9 9
A =
. D em ak, xususiy yechim : y = - —x e ^ x, umumiy yechim : y = C.e lx + C7e x - ~ x e }x. ( 2 d) y"+4y'-2y=Ssin2x tenglarnaga mos bir jin sii tenglam aning umum iy yechimi: _ ( - 2 +V 5 )r y = C,eK ’ + C 2e ' Berilgan tenglam aning o ’ng tomoni f ( x ) = e°’ / J
0(j:)sin2jr ko’rinishida bo’lib, '
t
xarakteristik tenglam aning ildizi b o ’lm agani uchun xususiy yechim ni у - A cos 2л - В sin 2x shaklda izlaymiz. Bu ifodani berilgan tenglarnaga q o ’ysak, ( - 6
8/?)cos2.r - (б В +
8/i)sin 2x =
8sin 2x co slx va sinZir oldidagi koeffitsientlami tenglab, A va В lami topam iz: Л
16 « 12 ™ _ 16 „ 12 . „ 25 2 5 ’
m ’ xusus|y yechim ,y = - — c o s 2j c - — sin 2.x, umumiy , .
„ 16cos2x + 12 sin
yechim у = C.e '
' + C ,e ' 1 ---------------------------- . 25 e )
у ’ + у - 4xcosx tenglarnaga mos bir jin sii tenglam aning umum iy yechim i: y = Ct c o s^ + C 2sin^. а->
xarakteristik tenglam aning oddiy ildizi b o ’lgani uchun xususiy yechim ni
Z#)cosA: + (C* + i))sin jc) k o ’rinishida izlaymiz. А, В, C, D lar uchun m os tenglam alam i yechib, A= 0,
B= 1, C = 1, D = 1 lam i topam iz. D em ak, xususiy yechim :
=
x cosjc +
x 2 sin
x , umumiy yechim : y = C, cos л: + C2 sin
x + дгсо
5д- + x! sin
x . f)
y"+2y'+5y = e x cos 2* tenglarnaga m os y ’ +
2y + 5y = 0 tengiam a uchun r 2 + 2r + 5 = 0 xarakteristik tengiama r[2 = -1 ± 2i ildizlarga ega. Shuning uchun, mos bir
jin sii tenglamaning um um iy yechim i: у = (С, cos 2х + С2 sin
2х)е х, a + bi = - \ + 2i son xarakteristik tenglam aning oddiy ildizi bo’lgani uchun xususiy yechim ni
c o s
2x + B sin 2x ) e '* ko’rinishda izlaym iz. N o m a'lu m A va В koeffitsientlam i topish uchun у ni va uning hosilalarini tenglam aga q o ’yib va e 1 ga qisqartirib, bu yerdan .4=0, ® = D em ak,
sin
2 x . Shunday qilib, umum iy yechim: у = (С, cos 2л + C2 sin
2x)e~x +
— xe~x sin
2 x . Misol. Ixtiyoriy o ’zgarm aslam i variatsiyalash usulini tatbiq etib, quyidagi tenglam alam i integrallang. а )
y"+ y = — l— ; b) y 9- y ' - e Zx cosex; с) y ^ + y '^ ? - ^ - . COS
X X Yechish.
a) M os bir jin sli y ' + y — Q tenglam aning um um iy yechim i: у = C ,(x )c o s x + C 2( x ) s in x . O ’zgarm aslami variatsiyalab, xususiy
yechim ni у = C ,(x )c o sx + C 2(x )sin
k o ’rinishda izlaymiz. C ,(x) va C2(x) lar (II bob 2-§ dagi (3) ga ko’ra) C, ’(x )c o s x + C2 '(x)sin x = 0,
-C, '(x )s in x + C2 \o ) cosx = cos x sistem ani qanoatlantiradi. B u sistem adan С, '(x) = — ^ — va C. '(jc) = — kel i b cos x
cos л chiqadi. Integrallash ushbuni beradi: c i(JC) = ~ ^ ~ T “ ’
2 cos
x ~
- 1 sin 2x - l + 2sin2x
c o s 2x Dem ak, у = ----------- + -------- = -----------------= ------------. 2 co sx co sx
2 cosx 2 cosx
Umumiy yechim : у = у + y = C, cosx +
C. sin x - . 2 cosx
b) y " - y ' - e 2x c o s e 1. Eng oldin mos bir jin sli y ’ - y = 0 tenglam aning umumiy yechim ini topam iz:
= 0 ,
r{ = 0 ,
r2 = 1,
y = Ct(x) + C2(x)ex. Xususiy yechim ni y = C](x) + C2(x )e ' k o ’rinishda izlaymiz. Bunda C ,(x) va C 2(x) lar ushbu [C, '( x ) 0 + C2 '(x)e* =
e2x c o se ' sistem adan aniqlanadi. B u sistem adan quyidagilarga ega bo’lamiz: C, '( x ) = - e 2x c o s e 1, C 2 '(x ) =
cose*,
C, ( x ) = ~ex sin
ex - c o se 1, Сг ( x ) = sin e 1. Bundan berilgan tenglam aning umumiy yechim ini topamiz:
y - - e sine - c o s e + e sine = - c o s e , ^ =
^ = + C2ex - cose*. x — 1 c) y'"+ y" = — — Berilgan tenglamaga mos bir jinsli _y” + _y" = 0 tenglamaning x umumiy yechimi: r 3 + r 1 = 0 , r 2(r+ l)= 0 , rl2 = 0 .r3 = - l , y = C, + C2x + C3e“' . Xususiy
yechimni у = Ci(x) + C1( x ) x + C }( x ) e “ ko’rinishda izlaymiz. С, (x), С j (x), C,(x)lami c ; ( x ) + q ( x ) +c ; ( x ) e - * = о
0 + C2(x )l - C j{x)e~* = 0 sistemadan topamiz: x - \ 0 + C'2( x ) 0 + C'3( x ) e *=- x c ; ( x ) = - i + ± ' c , ( * ) = - x - j + c , . = C2(x ) = ln|x| + - U c 2, C3( x ) ^ ~ e \ C ,(x) = - U ' + C3. Topilgan ifodalarni hisobga olib, umumiy yechim ni yozamiz:
Quyidagi bir jinsli tenglam alam ing umumiy yechim ini toping (3.1-3.6). 3.1. y"+3>-' = 0. 3.2. / ' + 4 y ’- 5 y = 0. 3.3.
y ’- 1 6 y '+ 6 4 y = 0. 3.4.
y " ~ 4 y ’+ 5 y = 0. 3.5.
4? ~ y = 3 . 3.6. y '”+ 8 v = 0. У' 3.7. >’"t 4 y = 0 tenglamaning M 0 ,1 ) nuqtadan o ’tuvchi va shu n u qtaday-x= l o’g ’ri chiziqqa urinuvchi integral egri chizig’ini toping. Q uyidagi bir jinslim as tenglam alam ing um um iy yechim ini toping (3.8-3.19). 3.8. у " + 8 / = 8лг. 3.9.
3.10. у " + / + . у = (х + х 2) е '. 3.11. j > " + 3 / = 3x<> 3\ 3.12. >'"+4>,'- 2 y = 8sin2x. 3.13. y " + y = jc2sin.x:. 3.14. y " - 4 y ' + 4 y = 8 e '2*. 3.15.
y ’+ 2y'+ 5y = e ' s i n 2x. 3.16.
y “+ 4 y'+ 3 y = 9e 3r. 3.17.
2y"+ 5y' = 29cosx. 3.18. y ”+ 2 > '' = 4 e ‘ (s in x + cosjc) 3.19. y "+
4y'+ 5y= \0e 2*cosjc. Quyidagi tenglam alam ing berilgan boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechim ini toping (3.20-3.27). 3.20. y " -4 y '+ 3 y = 0,.y(0) = 6 , ;y'(
0 ) = 10.
3.21. y ' - 2 y ' + 2 y = Q, n
0 ) =
0 , y ’(0) = l . 3.22. y ’~2y'+3y = 0, y(0) = l, y'(0) = 3.
3.23. y ' - 5 y ' + 4 y = 0, >(0)
= 1,
j>’(0) = 1. 3.24. y"+9y' =
6e*', y(0) = 0, _v’(0) = 0 . 3.25. y ’-4 y ' + 5 y = 2x2e ' , y(0)~ 2, y\Q) = 3 . 3.26. y ' - 2 y ' = 2 e \ y{
1) — 1, y ’(l)- 0. 3.27.
y ’+4y = 4(sin2-t + cos 2x), y(n) = y \n ) - I n Ixtiyoriy o ’zgarm aslam i variatsiyalash usulini
tatbiq etib,
quyidagi tenglam alarni integrallang (3.28-3.33). 3.28.
3.29. y ”+ 9 y = — r cosx
sin3jc 3.30. у " - 2y'+ у = — .
3.31. y"+ 2y'+ y = — x xe 3.32.
y + y - c t g * .
з з з y 4 4 y = _ l _ sin
X 3.34. M assasi 200 g b o ’lgan yuk prujinaga osilgan. Yuk 2 sm pastga tortilib, key in q o ’yib yuborilgan. A g ar yuk v= lsm /s tezlik bilan harakat qilsa, muxit unga ]0~
37V qarshilik ko’rsatadi. Prujinaning qarshilik kuchi uni 2 sm cho’zganda 100N ga teng. Prujinaning m assasini hisobga olmay, m uxit qarshiligi harakat tezligiga proporsional bo’lgan holda yukning harakat qonunini toping. 3.35. 10 kg m assali jism g a uni muvozanat holatiga qaytarish uchun harakat qiluvchi elastik kuch ta ’sir etadi. Kuch siljishga proporsional va u yuk 1 m siljishga 20N ga teng. M uhit qarshiligi harakat tezligiga proporsional uchta tebranishdan s o ’ng am plituda 10 baravar kam ayadi. Tebranishlar davrini toping. II - bobgn dote mlsol va nns»lal 1.1.
1.2. y = - l n ( l + tgC ,tgx) + -^ln(l + tg J.r) + C 1.4. у = C,em +
C2e " .
1.5. у = + | ( * + С , f n + С , . 1. 6. лг = С, + С2у + Q y 1 1.7.
у =
е*(х - 1 ) + С,х + С2; у =
ех(х - 1 ) . 1.8. у + С11пу = х + С2, у = -1 . 1.9. у = С, + C . s i n j c - A t - — sin 2 jc; y = 2 s \ n x - x - — s in 2 л - 1 . Download 1.85 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|