Ombinatorika

 

KOMBINATORIKA                               
99 
 
Kombinace s 
opakováním
 
Varianta B 
Příklady: 
1)
 
Řešte rovnici  
 


4
1
,
2
K´
,
2
K´



n
n
 
2)
 
Zvětšíme-li počet prvků o jeden, zvětší se počet dvoučlenných kombinací s opakováním 
o 4. Určete původní počet prvků.  
 
Řešení: 
1)
 
Rovnici upravíme podle vzorce 
 
,
1
n
k,
K´









k
k
n
 
určíme podmínky a dopočítáme. 
 


4
1
,
2
K´
,
2
K´



n
n
 
4
2
2
2
1
n






 






 
n
 






1
4
!
2
!
!
2
!
2
!
1
!
1










n
N
n
n
n
n
n
 



 

4
2
1
2
2
1







n
n
n
n
 

 

8
2
2
1




n
n
 
0
3
2
2



n
n
 
2
4
2
2
,
1



n
 
1
1

n
 
3
2


n
 
Výsledek 
3
n
2


nevyhovuje podmínkám, řešením rovnice je  
1
n
1

 
 
 

100 
KOMBINATORIKA                               
 
2)
 
Ze zadání vytvoříme rovnici, kterou vyřešíme 
 


4
1
,
2
K´
,
2
K´



n
n
 
4
2
2
2
1
n







 






 
n
 






1
4
!
2
!
!
2
!
2
!
1
!
1











n
N
n
n
n
n
n
 
0
8
2
3
2
2






n
n
n
n
 
0
6
2



n
 
3
n

 
 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
 
Výsledky řešení: 
1)
 
1
1

n
 
2)
 
Původní počet prvků je 3. 

KOMBINATORIKA                               
101 
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
Zmenší-li se počet prvků o 2, zmenší se počet dvoučlenných kombinací s opakováním 
a)
 
o 19.  
[10] 
b)
 
o 29.  
[15] 
Určete původní počet prvků. 
2)
 
Zvětší-li se počet prvků o 3, zvětší se počet tříčlenných kombinací s opakováním  
a)
 
o 46 
[3] 
b)
 
o 109 
[5] 
Určete původní počet prvků. 
3)
 
Počet dvojčlenných kombinací s opakováním z 
n
 prvků je o 45 větší neţ jednočlenných 
kombinací z 
n
 prvků. Určete 
n
.  
[10] 
4)
 
Určete, z kolika prvků je moţné vytvořit 
a)
 
66 dvojčlenných kombinací s opakováním. 
[11] 
b)
 
153 dvojčlenných kombinací s opakováním.  
[17] 
5)
 
Řešte rovnice v N 
a)
 
 
15
,
2
K´

n
 
[5] 
b)
 
 
91
,
2
K´

n
 
[13] 
c)
 
 


31
2
,
2
K´
,
2
K´



n
n
 
[4] 
d)
 
 


-24
3
,
2
K´
,
2
K´



n
n
 
[6] 
e)
 
 


12
2
,
2
K´
,
2
K´



n
n
 
[5] 
f)
 
 


-36
2
,
3
K´
,
3
K´



n
n
 
[4] 
g)
 
 


28
1
,
3
K´
,
3
K´



n
n
 
[7] 
h)
 
 




11
1
,
2
K´
2
,
2
K´
,
2
K´





n
n
n
 
[3] 
i)
 
 




12
1
,
2
K´
3
,
2
K´
,
2
K´





n
n
n
 
[6] 
j)
 
 






9
2
,
3
K´
3
,
3
K´
1
,
3
K´
,
3
K´







n
n
n
n
 
[2] 
k)
 




 


33
2
,
3
K´
,
3
K´
1
,
3
K´
1
,
3
K´







n
n
n
n
 
[3] 
 
 

102 
KOMBINATORIKA                               
 
Příklady'>Kombinace s 
opakováním
 
Varianta C 
Příklady: 
1)
 
Určete, kolika způsoby si můţe 5 osob rozdělit 6 stejných pentelek a 7 stejných 
obyčejných tuţek. 
2)
 
V novinovém stánku mají deset druhů časopisů, přičemţ kaţdý časopis mají v 13 kusech. 
Kolika způsoby lze zakoupit 14 časopisů? 
 
Řešení: 
1)
 
Počet všech moţností jak přiřadit pět osob k šesti pentelkám (jedna osoba můţe dostat 
více pentelek, přičemţ nezáleţí na tom, v jakém pořadí ty pentelky dostanou) je: 
 
5
,
6
K´
 
Počet všech moţností jak přiřadit pět osob k sedmi tuţkám (jedna osoba můţe dostat více 
tuţek, přičemţ nezáleţí na tom, v jakém pořadí ty tuţky dostanou) je: 
 
5
,
7
K´
 
Pouţijeme kombinatorické pravidlo součinu a oba počty vynásobíme.
 
   
69300
3
10
11
3
7
10
7
11
6
10
5
,
7
K´
5
,
6
K´






















 
2)
 
Budeme vybírat 14 časopisů z 10 druhů časopisu. Nezáleţí nám na tom, v jakém pořadí si 
jednotlivé časopisy vybereme. Protoţe časopisů od kaţdého druhu je jenom 13, musíme 
od celkového počtu moţností, jak časopisy vybrat, odečíst ty moţnosti, kdy jsme vybrali 
14 stejným časopisů od jednoho druhu. Protoţe časopisů mají 10 druhů, je počet 
moţností, kdy bylo vybráno 14 časopisů stejného druhu 10. 
Počet všech moţností, jak vybrat 14 časopisů je: 


10
,
14
K´
 


817180
10
817190
10
5
17
19
22
23
10
!
14
!
9
!
23
10
14
23
10
10
,
14
K´





















 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
 
Výsledek řešení: 
1)
 
Pentelky a tuţky si pět osob můţe rozdělit 69 300 způsoby. 
2)
 
Je 817 180 způsobů, jak si zakoupit časopisy. 

KOMBINATORIKA                               
103 
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
V pytli je 12 modrých, 10 ţlutých a 10 červených rozlišováků. Rozlišováky téţe barvy 
jsou nerozlišitelné. Určete, kolika způsoby lze vybrat 11 rozlišováků. 
 
 
[
 


2
3
,
11
K´
76] 
2)
 
V pytli je 15 modrých, 12 ţlutých a 11 červených trik. Trika téţe barvy jsou 
nerozlišitelné. Určete, kolika způsoby lze vybrat 12 trik.  
[
 


1
3
,
12
K´
90] 
3)
 
Určete, kolika způsoby si mohou 3 osoby rozdělit pět stejných čokolád, čtyři stejné sáčky 
bonbonů, čtyři stejné sáčky sušenek a čtyři stejné balíčky oplatek. 
 
 
[
   




3
3
,
4
3
,
5
K´
K
70 875] 
4)
 
V obchodě mají dva druhy marockého koření v balíčcích 25 gramech. Určete, kolika 
způsoby lze koupit 100 gramů koření, jestliţe prvního druhu mají 3 balíčky a druhého 
druhu 5 balíčků.  
[
 


1
2
,
4
K´
4] 
5)
 
V obchodě mají tři druhy čaje, kaţdý po 75 gramech. Určete, kolika způsoby lze koupit 
300 gramů čaje, jestliţe od jednoho druhu mají 7 balíčků a od zbývajících pouze 3 
balíčky.  
[
 


2
3
,
4
K´
13] 
 
 

104 
KOMBINATORIKA                               
 
So
uhrnné příklady k
 
procvičení
 
1)
 
Zjistěte, kolik existuje různých kvádrů, pro něţ platí, ţe délka kaţdé jejich hrany je 
přirozené číslo z intervalu 
a)
 
(2,15) 
[364] 
b)
 
(2,10) 
[165] 
2)
 
Určete počet způsobů, jimiţ lze přemístit písmena ve slově ATLANTA tak, aby ţádná 
trojice sousedních písmen nebyla tvořena třemi písmeny A.  
[360] 
3)
 
Heslo se skládá z pěti číslic (0, 1,…, 9) a tří písmen (kaţdé můţeme volit z 26). Kolik 
existuje moţností, jak zvolit heslo.  
[1 757 600 000] 
4)
 
Určete počet všech trojúhelníků, z nichţ ţádné dva nejsou shodné a jejichţ kaţdá strana 
má jednu z velikostí daných čísly 1, 2, 3, 4, 5. 
[23] 
5)
 
Určete počet všech trojúhelníků, z nichţ ţádné dva nejsou shodné a jejichţ kaţdá strana 
má jednu z velikostí daných čísly 3, 4, 5, 6, 8. 
[31] 
6)
 
Kolik různých neuspořádaných trojic mohou dát počty ok na jednotlivých kostkách při 
vrhu čtyřmi kostkami? 
[126]
 
7)
 
Určete, kolika způsoby je moţno přemístit písmena slova KABELKA tak, aby se 
souhlásky a samohlásky střídaly. 
[72]
 
8)
 
Určete, kolika způsoby je moţno přemístit písmena slova PERMUTACE tak, aby se 
souhlásky a samohlásky střídaly. 
[1440]
 
9)
 
Určete, kolika způsoby lze z jednoeurových  a dvoueurových mincí zaplatit částku 
10 euro, jsou-li oba druhy mincí k dispozici v dostatečném počtu. 
[6]
 
10)
 
Kolika způsoby lze vybrat ze 50 mikročipů 3 mikročipy ke kontrole, jestliţe po kontrole je 
vţdy mikročip vrácen zpět. 
[22 100]
 
11)
 
Poměr počtu variací druhé třídy bez opakování z n-prvkové mnoţiny a počtu variací třetí 
třídy s opakováním z n prvků je 9:10. Určete počet prvků. 
[10]
 
12)
 
K dispozici jsou 2 tabletky vitamínu C, 3 tabletky vitamínu B a 4 tabletky vitamínu D. 
kaţdý den si lze vzít pouze jednu tabletku jednoho druhu vitamínu. Kolik existuje 
způsobů, jak si brát vitamíny? 
[1260]
 
13)
 
Určete počet všech přirozených čísel větších neţ 400 000, které lze sestavit z cifer 2, 4, 7, 
vyskytuje-li se v v kaţdém z nich cifra 2 dvakrát cifra 4 jedenkrát a cifra 7 třikrát. 
[40]
 
14)
 
Určete, kolika způsoby lze rozdělit 14 láhví whisky mezi deset dospělých, jestliţe 
a)
 
kaţdý člověk dostane alespoň jednu láhev 
[715] 
b)
 
nejmladší člověk dostane dvě láhve. 
[293 930] 
 

KOMBINATORIKA                               
105 
 
Literatura: 
[1]
 
Fuchs E., Kubát J. a kolektiv.: Standardy a testové úlohy z matematiky pro čtyřletá 
gymnázia, Prometheus, Praha, 2001 
[2]
 
Calda E., Dupač V.: Matematika pro gymnázia - Kombinatorika, pravděpodobnost 
a statistika, Prometheus, Praha, 2001 
[3]
 
Jirásek F., Braniš K., Horák S., Vacek M.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a pro 
studijní obory SOU, 2. část, Prometheus, Praha, 1999 
[4]
 
Kubát J., Hrubý D., Pilgr J.: Sbírka úloh z matematiky pro střední školy - Maturitní 
minimum, Prometheus, Praha, 2003 
[5]
 
Calda E.: Matematika pro netechnické obory SOŠ a SOU, 3. díl, Prometheus, Praha, 
2000 
[6]
 
Hudcová M., Kubičíková L.: Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové 
studium, Prometheus, Praha, 2004 
[7]
 
Herman J., Kučera R., Šimša J.: Metody řešení matematických úloh II, Masarykova 
univerzita, Brno, 1997 
[8]
 
http://carolina.mff.cuni.cz/~jana/kombinatorika/
 
[9]
 
http://www.mg-akademie.cz/stranky_profesori/horsky/stat/st_3_PVC.pdf