Ombinatorika
Download 5.21 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Příklad : Varianta A Varianta B Varianta C
- Příklady k procvičení
- Souhrnné příklady k procvičení
- Kombinační čísl o Vlastnosti kombinačních čísel
- Příklad
- Vlastnosti kombinačních čísel Varianta A Příklady : Nechť 0 N n , spočítejte
|
Faktoriál Varianta C Příklady: 1) Vyjádřete pomocí faktoriálu 1 ... 2 1 k n n n n 2) Dokaţte, ţe pro všechny přípustné hodnoty n platí: n n n n n n n n n n 2 3 ! 1 ! 1 ! 1 3 ! 1 ! 2 2 Řešení: 1) Nejprve musíme rozšířit výrazem 1 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1 k n k n k n k n , čitatel je po rozšíření roven ! n , jmenovatel je po rozšíření roven ! k n . 1 ... 2 1 k n n n n 1 2 3 ... 1 1 2 3 ... 1 1 ... 1 k n k n k n k n k n n n ! ! k n n 2) Upravíme levou stranu rovnice. ! 1 ! 1 3 ! 1 ! 2 n n n n n n n ! 1 1 1 3 ! 1 ! 1 2 n n n n n n n n n n n n n n n 1 3 1 ! 1 2 3 ! 1 n n n 2 3 ! 1 2 n n Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) ! ! k n n 2) Platí 28 KOMBINATORIKA Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete pomocí faktoriálu a) 4 ... 8 9 10 ! 3 ! 10 b) 50 ... 98 99 100 ! 49 ! 100 c) 6 ... 990 ! 5 ! 11 d) 1 ... 2 1 k B A B A B A B A ! ! k B A B A 2) Dokaţte, ţe pro všechny přípustné hodnoty n platí a) ! 1 ! 1 ! 2 n n n n n b) ! 1 ! 1 ! 2 n n n n n n c) n n n n 2 ! 2 ! 2 ! 1 2 d) ! ! ! 1 n n n n n e) 1 1 ! 2 ! 1 ! 1 ! 2 n n n n n n f) 3 2 ! 2 ! 1 ! 2 n n n n n n g) ! ! ! 1 ! ! 2 n n n n n n n n KOMBINATORIKA 29 Souhrnné příklady k procvičení 1) Upravte na společného jmenovatele a) ! 4 1 ! 3 1 ! 4 5 b) ! 8 6 ! 7 12 ! 8 90 c) ! 7 6 ! 6 5 ! 5 4 ! 7 197 d) 1 ! 2 2 3 ! 4 5 ! 4 53 2) Zjednodušte a určete podmínky a) ! ! 2 n n 0 , , 1 2 n N n n n b) ! 2 ! 2 n n 2 , , 1 2 n N n n n n c) ! 39 ! 40 n n 40 , , 39 1 n N n n d) ! 1 4 ! 4 n n 1 , , 4 n N n n e) ! 5 2 ! 4 n n n 5 , , ! 4 8 n N n n n f) ! 1 ! ! 2 ! 1 n n n n 2 , , 1 n N n g) ! 1 ! ! 2 ! ! 2 ! 1 n n n n n n N n n , 2 2 3) Řešte v N nerovnice a) 4 ! 1 ! 2 n n 2 n b) 5 ! 1 ! ! ! 1 n n n n 2 n c) 6 ! 2 ! 2 ! ! 2 n n n n 2 4 n d) ! 1 3 ! ! 2 n n n 2 n 30 KOMBINATORIKA Kombinační čísl o Vlastnosti kombinačních čísel Pro všechna nezáporná celá čísla k n, n k , je ! ! ! k n k n k n Symbol k n se nazývá kombinační číslo a čteme ho „en nad ká“ Kombinační číslo určuje počet všech k -prvkových podmnoţin n -prvkové mnoţiny Pro všechna nezáporná celá čísla k n, , n k platí: k n k - n n Pro všechna nezáporná čísla k n, , n k 1 platí: 1 k 1 n 1 k n k n Příklad: Dokaţte tvrzení: Pro všechna nezáporná čísla k n, , n k 1 platí: 1 k 1 n 1 k n k n Řešení: Kombinační čísla napíšeme ve tvaru zlomku dle definice kombinačního čísla, faktoriály upravíme tak, abychom dostali zlomek ve tvaru ! ! 1 ! 1 k n k n , který lze opět podle definice napsat ve tvaru kombinačního čísla 1 k 1 n . ! 1 ! 1 ! ! ! ! 1 k n k n k k n n k n k n ! ! 1 ! ! ! 1 ! k n k k n n k n ! ! 1 1 ! k n k k n k n ! ! 1 1 ! k n k n n ! ! 1 ! 1 k n k n 1 k 1 n Tvrzení je dokázané. KOMBINATORIKA 31 Vlastnosti kombinačních čísel Varianta A Příklady: Nechť 0 N n , spočítejte 1) 2 10 2) 0 n 3) 0 0 4) 5 6 4 6 Řešení: 1) Upravíme na zlomek dle definice kombinačního čísla, dopočítáme. 45 9 5 ! 2 ! 8 ! 10 2 10 2) Upravíme na zlomek dle definice kombinačního čísla, dopočítáme 1 ! ! 0 ! 0 n n n 3) Upravíme na zlomek dle definice kombinačního čísla, dopočítáme 1 ! 0 ! 0 ! 0 0 0 4) Nejprve vyuţijeme, ţe platí 1 k 1 n 1 k n k n , pak upravíme na zlomek podle definice kombinačního čísla a dopočítáme. 21 ! 2 ! 5 ! 7 5 7 5 6 4 6 Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) 45 2) b) 1 3) 1 4) 21 32 KOMBINATORIKA Příklady k procvičení: 1) Vypočítejte a) 3 12 220 b) 2 5 2 6 25 c) 6 7 5 7 28 d) 13 16 2 16 680 e) 6 8 6 9 56 f) 7 7 6 7 5 7 8 21 g) 2 4 4 5 2 5 2 5 h) 2 11 2 11 9 11 0 i) 1 2 2 3 2 5 3 6 2 j) 4 7 4 6 1 5 3 5 35 KOMBINATORIKA 33 2) Zjednodušte, předpokládejte přípustné hodnoty x a) 1 x x b) 2 x 2 2 x x c) 2 x x 2 2 x x d) 3 1 x x 2 2 3 2 x x e) 48 50 x x 2 2450 99 2 x x f) 1 2 1 3 x x x x 2 10 7 2 x x g) 1 5 7 2 x x x 42 12 2 x x h) 2 4 3 5 x x x x 4 x i) 0 1 1 x x x x 1 j) 1 0 2 1 2 x x x x x 1 2 2 x x |
