Ombinatorika
Vlastnosti kombinačních čísel
Download 5.21 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Příklady k procvičení
- Vlastnosti kombinačních čísel Varianta C Příklad
- Řešení: Jestliţe kombinační čísla v tomto schématu vyčíslíme např. pro n=3, dostaneme schéma ve tvaru
- Příklad : Varianta A Varianta B Varianta C
- Binomická věta
|
Vlastnosti kombinačních čísel Varianta B Příklady: 1) Vyjádřete jediným kombinačním číslem a) 4 21 15 20 4 20 b) 9 13 9 12 9 11 9 10 9 9 2) Řešte v N 3 1 - x x 2 x Řešení: 1) a) Podle vztahu k n k - n n platí, ţe 5 20 15 20 , dále vyuţijeme toho, ţe platí 1 k 1 n 1 k n k n 5 22 4 21 5 21 4 21 5 20 4 20 4 21 15 20 4 20 b) 10 10 1 9 9 , v dalších úpravách vyuţíváme vztahu 1 k 1 n 1 k n k n 9 13 9 12 9 11 9 10 10 10 9 13 9 12 9 11 9 10 9 9 10 14 10 13 9 13 9 13 10 12 9 12 9 13 9 12 10 11 9 11 KOMBINATORIKA 35 2) Kombinační čísla v rovnici upravíme podle definice kombinačního čísla, úpravou faktoriálů dojdeme ke kvadratické rovnici. 3 1 - x x 2 x 3 ! 1 ! 1 ! ! 2 ! 2 ! x x x x 3 2 1 x x x 0 6 2 x x 2 24 1 1 2 , 1 x 2 1 x 3 2 x není z oboru přirozených čísel Zk. pro 2 1 x L(2) = 3 2 1 1 2 2 2 P(2) = 3 L(2) = P(2) 2 1 x je řešení rovnice Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledky řešení: 1) a) 5 22 b) 10 14 2) 2 1 x 36 KOMBINATORIKA Příklady k procvičení: 1) Vyjádřete jedním kombinačním číslem a) 2 5 4 5 4 6 b) 4 7 3 5 4 5 5 7 c) 2 6 5 6 1 6 2 6 3 8 d) 7 10 7 9 7 8 7 7 8 11 e) 4 9 5 8 5 7 5 6 5 5 6 10 f) 51 52 50 51 1 50 ... 1 3 1 2 1 1 2 53 2) Řešte v N rovnice a) 3 10 3 6 x 6 x b) 10 2 4 3 5 x x x x 6 x c) 3 3 1 x x 4 x d) 5 1 2 1 3 x x x x 0 x e) 48 7 1 5 7 2 x x x x 1 x f) 2 5 1 1 3 6 1 1 1 4 x x x x 2 x g) 1 1 5 1 1 7 8 2 1 x x x x x x x 5 x h) 1 1 4 2 2 1 n n x x 2 x KOMBINATORIKA 37 Příklad'>Vlastnosti kombinačních čísel Varianta C Příklad: Nechť je dáno následující schéma n=0 0 0 n=1 0 1 1 1 n=2 0 2 1 2 2 2 n=3 0 3 1 3 2 3 3 3 …………………………………………………….. n=k 0 k 1 k ……………………………. 1 k k k k Toto schéma se nazývá Pascalův trojúhelník . Napište pátý řádek Pascalova trojúhelníku. 38 KOMBINATORIKA Řešení: Jestliţe kombinační čísla v tomto schématu vyčíslíme např. pro n=3, dostaneme schéma ve tvaru 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Sobě rovná čísla jsou rozmístěna podle svislé přímky procházející jeho vrcholem. Můţeme vidět, ţe platí, ţe součet dvou libovolných sousedních čísel v kaţdém jeho řádku je roven číslu, které se nachází „pod jejich středem“ v řádku následujícím. To znamená, ţe můţeme určit libovolný řádek Pascalova trojúhelníku, známe-li řádek předcházející. Příklad: Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Pátý řádek Pascalova trojúhelníku: 0 4 1 4 2 4 3 4 4 4 KOMBINATORIKA 39 Příklady k procvičení: 1) Napište a) šestý řádek Pascalova trojúhelníku 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 b) řádek Pascalova trojúhelníků odpovídající n=7 7 7 6 7 5 7 4 7 3 7 2 7 1 7 0 7 c) (k+1). řádek Pascalova trojúhelníku 1 7 1 1 2 1 2 3 1 2 0 1 k k k k k k k k 2) Napište devátý řádek Pascalova trojúhelníku, kombinační čísla vyčíslete. 1 8 28 56 70 56 28 8 1 3) Napište řádek Pascalova trojúhelníku odpovídající n=6, kombinační čísla vyčíslete. 1 6 15 20 15 6 1 4) Dopište druhou polovinu 10. řádku Pascalova trojúhelníku: 1 9 36 84 126 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 5) Sedmý řádek Pascalova trojúhelníku je 1 6 15 20 15 6 1. Odvoďte z něj šestý řádek. 1 7 21 35 35 21 7 1 40 KOMBINATORIKA Souhrnné příklady k procvičení 1) Určete, která z následujících kombinačních čísel jsou si rovna, aniţ je vyčíslíte. a) , 2 14 , 8 15 , 4 15 , 5 15 , 12 14 11 14 , 11 15 11 15 4 15 , 12 14 2 14 b) , 20 50 , 21 51 , 22 52 , 31 50 , 30 51 34 54 , 31 52 30 51 21 51 2) V N řešte nerovnice a) 2 8 2 5 x 3 x N, x b) 3 2 2 2 x x 2 x N, x c) 10 2 x x 5 x 2 N, x d) 51 2 4 2 1 x x 5 x 1 N, x 3) Dokaţte, ţe pro všechna nezáporná čísla , n k platí: k n n k n . 4) Dokaţte, ţe pro všechna nezáporná čísla n,k taková, ţe k je menší neţ n platí:. i. 1 1 k k n k n k n k n, KOMBINATORIKA 41 Binomická věta Pro všechna čísla b a, a kaţdé přirozené číslo n platí: n k k k n n n n n n n b a k n b n n ab n n b a n b a n a n b a 0 1 2 2 1 1 ... 2 1 0 Kombinační čísla se nazývají binomické koeficienty . k -tý člen binomického rozvoje má tvar: 1 1 1 k k n b a k n Download 5.21 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|