Ombinatorika

Příklad: 
Určete 6. člen binomického rozvoje výrazu 


10
2
x


.  
Řešení: 
Dosadíme do vzorce pro výpočet 
k -tého členu binomického rozvoje.  
,
2


a
 
,
x
b

 
,
6

k
 
10

n
 
 
5
5
5
5
5
8064
32
4
7
9
32
!
5
!
5
!
10
2
5
10
x
x
x
x


















 
Šestý člen binomického rozvoje je 
5
8064x .  
 
 

42 
KOMBINATORIKA                               
 
Binomická věta
 
Varianta A 
Příklady: 
1)
 
Vypočtěte pomocí binomické věty 
a)
 


4
6
2
x

 
b)
 
3
1
,
2
 
2)
 
Určete pátý člen binomického rozvoje výrazu 


8
2i
a

. 
Řešení: 
1)
 
 
a)
 
Dosadíme dle definice 
 


 
 
 













































4
3
2
2
3
4
4
6
4
4
6
2
3
4
6
2
2
4
6
2
1
4
2
0
4
6
2
x
x
x
x
x
 
4
3
2
1296
1728
864
192
16
x
x
x
x





 
b)
 
Číslo 2,1 lze napsat jako 


3
1
10
2


, dále dosadíme dle definice binomické věty 
a dopočítáme. 
 


 
 








































3
1
2
1
1
2
3
3
1
10
3
3
10
2
2
3
10
2
1
3
2
0
3
10
2
 
 
261
,
9
001
,
0
06
,
0
2
,
1
8





 
2)
 
Dosadíme do vzorce pro výpočet  k -tého členu binomického rozvoje.  
,
0

a
 
,
2i
b

 
,
5

k
 
8

n
 
 
 
 
 
4
4
4
4
4
1120
16
2
5
16
!
4
!
4
!
8
2
4
8
a
a
a
i
a




















 
Pátý člen binomického rozvoje je 
.
1120
4
a

 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
 
Výsledky řešení: 
1)
 
 
a)
 
 
4
3
2
1296
1728
864
192
16
x
x
x
x




 
b)
 
261
,
9
 
2)
 
4
1120a

 

KOMBINATORIKA                               
43 
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
Vypočtěte pomocí binomické věty 
a)
 


6
3
1

 
 
 


3
120
208

 
b)
 


5
1 x

 
 
 


5
4
3
2
5
10
10
5
1
x
x
x
x
x





 
c)
 


6
b
a


 
 
 


6
5
4
2
3
3
2
4
5
6
15
20
15
6
b
ab
b
a
b
a
b
a
b
a
a






 
d)
 


4
2
6
a

 
 
 


4
3
2
16
6
32
144
6
48
36
a
a
a
a




 
e)
 


5
3
2
y
x

 


5
4
3
2
2
3
4
5
243
810
1080
720
240
32
y
xy
y
x
y
x
y
x
x





 
f)
 


4
3
3

i
 
 
 




i
3
1
72



 
g)
 
4
2





 
y
x
 
 
 










16
2
1
2
3
2
4
3
2
2
3
4
y
xy
y
x
y
x
x
 
h)
 


5
2
x
x

 
 
 


x
x
x
x
x
x
x
x
x





4
5
7
8
10
5
10
10
5
 
2)
 
Vypočtěte pomocí binomické věty 
a)
 
4
001
,
1
  


004006004
,
1
 
b)
 
3
98
,
0
   


941192
,
0
 
c)
 
3
26
,
2
   


543176
,
11
 
d)
 
3
014
,
0
  


000002744
,
0
 
3)
 
Určete třetí člen binomického rozvoje výrazu 
a)
 


7
1
2

x
 
 


x
x
2
672
 
b)
 
5
2





 
a
c
a
 
 






2
5
2
ac
 
c)
 


10
3
2
i
y

 
 


8
103680 y

 
4)
 
Určete pátý člen binomického rozvoje výrazu 
a)
 


8
3
5
w
z

 
 


12
4
43750
w
z
 
b)
 
6
3
2







y
x
 
 






4
2
4860
y
x
 
c)
 


7
2
2

i
 
 


i
6720  
 
 

44 
KOMBINATORIKA                               
 
5)
 
Určete 15. člen binomického rozvoje výrazu 
a)
 


17
6
2
x
x

 
 


x
x
2
680
14
 
b)
 


18
xy
y

 
 


18
14
3060
y
x
 
c)
 
16







y
i
x
 
 







14
2
120
y
x
 
 
 
 

KOMBINATORIKA                               
45 
 
Binomická_věta__Varianta_B'>Binomická věta
 
Varianta B 
1)
 
Vypočtěte pomocí binomické věty 

 

3
3
1
1
x
x



.  
2)
 
Který člen binomického rozvoje výrazu 
12
6
3
9
6







x
x
 je absolutní? 
Řešení: 
1)
 
Dosadíme dle definice 
 

 

 
   





























































3
2
3
2
3
3
2
3
1
3
0
3
2
3
1
3
0
3
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
 
3
3
2
6
2
1
3
2
x
x
x
x












 
2)
 
Pouţijeme vzorec pro výpočet  k -tého členu binomického rozvoje.  
Absolutní člen je ten, který neobsahuje 
x
. 
 
 
1
6
1
12
3
9
6
1
12


















k
k
x
x
k
 
k
k
k
k
x
x
k
6
6
1
3
39
13
9
6
1
12















 
k
k
k
x
k
9
45
1
13
9
6
1
12













 
Aby nebyla ve výrazu obsaţena nula, musí platit: 
0
9
45


k
. 
45
9


k
 
5

k
 
 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
Výsledek řešení: 
1)
 
3
2
6
x
x

 
2)
 
Absolutní je pátý člen binomického rozvoje. 

46 
KOMBINATORIKA                               
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
Vypočítejte pomocí binomické věty 
a)
 

 

4
4
2
1
2
1



   
 
 
4  
b)
 
   
3
3
1
1
i
i



 
 
 
 
i
4  
c)
 

 

3
3
2
2
y
x
y
x



   
 


3
2
16
12
y
y
x

 
d)
 

 

9
9
1
1
a
a




 
 
 
 
0  
e)
 

 

4
4
1
2



y
y
 
 
 


15
28
18
4
2
3



y
y
y
 
f)
 

 

3
3
2
1



y
y
 
 
 


9
9
9
2


y
y
 
2)
 
Určete, který člen binomického rozvoje výrazu 
21
2
2







x
x
, je absolutní. 
 
[Absolutní je 15. člen.] 
3)
 
Určete, který člen binomického rozvoje 
12
1
2







a
a
, je absolutní. 
 
[Absolutní je 7. člen.] 
4)
 
Určete, který člen binomického rozvoje výrazu  
13
3
17
2







y
i
y
,obsahuje  
a)
 
 
3
y  
 
 
 [10. člen]  
b)
 
 
15
y    
 
 [7. člen]  
5)
 
Určete, který člen binomického rozvoje výrazu 
14
6
1







ab
ab
  
a)
 
neobsahuje 
a
   
 
[8. člen]. 
b)
 
neobsahuje 
b    
 
[3. člen] 
6)
 
Určete, který člen binomického rozvoje výrazu 


32
6
2
5
2


x
x
, 
a)
 
je absolutní    
 
[9. člen] 
b)
 
obsahuje 
24

x
  
 
[12. člen] 
 
 

KOMBINATORIKA                               
47 
 
Binomická
 
věta
 
Varianta C 
1)
 
V binomickém rozvoji výrazu 


10
2
3

x
 určete koeficient členu obsahujícího
6
x .  
2)
 
S vyuţitím binomické věty vyjádřete jako jedno číslo součet 

















































6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
. 
Řešení: 
1)
 
Musíme zjistit, který člen obsahuje 
6
x . Pouţijeme vzorec pro výpočet  k -tého členu 
binomického rozvoje. 
 
 
1
1
10
2
3
1
10












k
k
x
k
 
1
2
22
3
1
10











k
k
x
k
 
Koeficient x musí být roven šesti. 
6
2
22


k
  
8

k
 
8

k
dosadíme do téhoţ vzorce a dopočítáme. 
 
 
6
6
7
6
7
3
2
262440
729
4
9
10
3
!
3
!
7
!
10
3
7
10
x
x
x
x


















 
Koeficient je 262 440. 
2)
 
Je vidět, ţe daný součet odpovídá binomickému rozvoji 
 
6
1
1

. 
 
0
0
1
1
6
6
5
6
4
6
3
6
2
6
1
6
0
6
6
6




















































 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
 
Výsledek řešení: 
1)
 
Koeficient je 262 440. 
2)
 
0 

48 
KOMBINATORIKA                               
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
V binomickém rozvoji výrazu


5
5
1

x
 určete koeficient členu obsahujícího  
a)
 
8
x  
 
5  
b)
 
6
x  
 
10  
2)
 
V binomickém rozvoji výrazu 


8
2
3

x
 určete koeficient členu obsahujícího 
a)
 
 
6
x  


13608

 
b)
 
 
10
x  


4536  
3)
 
V binomickém rozvoji výrazu 
14
3
2
2







y
určete koeficient členu obsahujícího   
a)
 
24
y
 




32
3003
 
b)
 
15
y
 


2
1001
 
4)
 
V binomickém rozvoji výrazu 
13
6
4
2
4
1
2









y
y
y
určete koeficient členu obsahujícího   
a)
 
4

y
 


292864

 
b)
 
28

y
 
 
26  
5)
 
Nalezněte koeficient členu, který obsahuje 
3
x  u mnohočlenu 




4
2
5
1
1
x
x
x
x





. 
 
 
6  
6)
 
Nalezněte koeficient členu, který obsahuje 
4
x  u mnohočlenu 




10
5
1
1
2



x
x
x
. 
 
 
77  
7)
 
Nalezněte koeficient členu, který obsahuje 
6
x  u mnohočlenu 






7
2
6
3
5
2
1
1
3
2







x
x
x
x
x
.  
[-495] 
 
 

KOMBINATORIKA                               
49 
 
8)
 
S vyuţitím binomické věty vyjádřete jako jedno číslo součet 
a)
 























































7
7
6
7
5
7
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7
 
 
128  
b)
 






































4
4
16
3
4
8
2
4
4
1
4
2
0
4
 
 
1  
c)
 















































5
5
243
4
5
162
3
5
108
2
5
72
1
5
48
0
5
32
 
 
1

 
d)
 




































n
n
n
n
n
n
n
1
2
1
0

 
 
n
2
 
e)
 
 
 














































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
1
1
3
2
1
0
1

 
 
0  
f)
 







































n
n
n
n
n
n
n
n
n
3
1
3
2
9
1
3
0
1

 
 
n
4
 
g)
 
 
 

















































n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
1
2
3
8
2
4
1
2
0
1

 
 
 
n
1

 
 
 

50 
KOMBINATORIKA