Ombinatorika

K
OMBINATORIKA
 
 
 
 
Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově
 
Výukové materiály z matematiky pro vyšší
 
gymnázia
 
Autoři projektu Student na prahu 21. století 
- 
využití ICT ve 
vyučování matematiky na gymnáziu
 
 
 
 
 
 
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky 
 
 
 
Prostějov 2010
 
 
 
 
 

2 
KOMBINATORIKA                               
 
Úvod 
 
Vytvořený  výukový  materiál  pokrývá  předmět  matematika,  která  je  vyučována  v osnovách 
a tematických  plánech  na 
gymnáziích  nižšího  a  vyššího  stupně.  Mohou  ho  však  využít  všechny 
střední  a  základní  školy,  kde  je  vyučován  předmět  matematika,  a  které  mají  dostatečné  technické 
vybavení a zázemí.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cílová skupina:
 
Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových 
materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s
 
individuálním studijním plánem, kteří se 
nemohou  pravidelně  zúčastňovat  výuky.  Tito  studenti  mohou  s
 
pomocí  našich  výukových  materiálů 
částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e
-le
arningového
 
studia. 
 
 
 
 

KOMBINATORIKA                               
3 
 
Obsah 
 
Základní kombinatorická pravidla ......................................................................................... 5
 
Pravidlo součtu ..................................................................................................................... 5
 
Pravidlo součtu Varianta A ................................................................................................ 6
 
Pravidlo součtu Varianta B ................................................................................................ 9
 
Pravidlo součtu Varianta C .............................................................................................. 11
 
Pravidlo součinu ................................................................................................................. 13
 
Pravidlo součinu Varianta A ............................................................................................ 14
 
Pravidlo součinu Varianta B ............................................................................................ 16
 
Pravidlo součinu Varianta C ............................................................................................ 18
 
Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................ 20
 
Faktoriál .................................................................................................................................. 21
 
Faktoriál Varianta A ......................................................................................................... 22
 
Faktoriál Varianta B ......................................................................................................... 24
 
Faktoriál Varianta C ......................................................................................................... 27
 
Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................ 29
 
Kombinační číslo .................................................................................................................... 30
 
Vlastnosti kombinačních čísel ........................................................................................... 30
 
Vlastnosti kombinačních čísel Varianta A ....................................................................... 31
 
Vlastnosti kombinačních čísel Varianta B ....................................................................... 34
 
Vlastnosti kombinačních čísel Varianta C ....................................................................... 37
 
Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................ 40
 
Binomická věta ....................................................................................................................... 41
 
Binomická věta Varianta A .............................................................................................. 42
 
Binomická věta Varianta B .............................................................................................. 45
 
Binomická věta Varianta C .............................................................................................. 47
 
Souhrnné příklady k procvičení: ...................................................................................... 50
 
Variace ..................................................................................................................................... 52
 
Variace Varianta A ........................................................................................................... 53
 
Variace Varianta B ........................................................................................................... 55
 
Variace Varianta C ........................................................................................................... 58
 
Permutace ............................................................................................................................... 60
 
Permutace Varianta A ...................................................................................................... 61
 
Permutace Varianta B ....................................................................................................... 64
 
Permutace Varianta C ....................................................................................................... 66
 

4 
KOMBINATORIKA                               
 
Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................ 68
 
Kombinace .............................................................................................................................. 70
 
Kombinace Varianta A ..................................................................................................... 71
 
Kombinace Varianta B ..................................................................................................... 73
 
Kombinace Varianta C ..................................................................................................... 75
 
Souhrnné příklady k procvičení ........................................................................................ 78
 
Variace s opakováním ............................................................................................................ 80
 
Variace s opakováním Varianta A.................................................................................... 81
 
Variace s opakováním Varianta B .................................................................................... 83
 
Variace s opakováním Varianta C .................................................................................... 86
 
Permutace s opakováním ....................................................................................................... 89
 
Permutace s opakováním Varianta A ............................................................................... 90
 
Permutace s opakováním Varianta B ............................................................................... 92
 
Permutace s opakováním Varianta C ............................................................................... 94
 
Kombinace s opakováním ...................................................................................................... 96
 
Kombinace s opakováním Varianta A.............................................................................. 97
 
Kombinace s opakováním Varianta B .............................................................................. 99
 
Kombinace s opakováním Varianta C ............................................................................ 102
 
Souhrnné příklady k procvičení ...................................................................................... 104
 
Literatura: ................................................................................................................... 105
 
 
 

KOMBINATORIKA                               
5 
 
Základní k
ombinatorick
á pravidla
 
Pravidlo součtu
 
Jsou-li 
n
A
A
A
,
,
,
2
1

 konečné mnoţiny s 
n



,
,
,
2
1

 prvky a jsou-li kaţdé dvě disjunktní, 
pak mnoţina 
n
A
A
A




2
1
 má 
n







2
1
 prvků. 
 
 
Příklad: 
Určete počet všech přirozených dvojciferných čísel, v jejichţ dekadickém 
zápisu se nevyskytuje 0 a zbývajících 9 číslic se kaţdá vyskytuje nejvýše 
jednou. 
Řešení: 
počet všech dvojciferných čísel je .................................... 90 
 
počet všech dvojciferných se stejnými ciframi .................. 9 
 
počet všech dvojciferných obsahujících nulu .................... 9 
 
počet všech dvojciferných s různými ciframi bez nuly ...... p 
 
 
 platí vztah 
90
9
9



p
   
72

p
 
 
 
 Počet všech dvojciferných čísel, které odpovídají zadaným podmínkám je 72. 
 
 

6 
KOMBINATORIKA                               
 
Pra
vidlo součtu
 
Varianta A 
Příklady: 
1)
 
Ve třídě je 32 dětí, z nichţ se 11 učí německy a 8 španělsky. Kolik dětí se učí anglicky, 
jestliţe ani jedno z dětí nemá dva jazyky. 
2)
 
Kolik přirozených čísel menších neţ 150 končí trojkou? 
 
Řešení: 
1)
 
Ţádné dítě nemá dva jazyky, hledaný počet bude zbytek z 32 po odečtení německy 
a španělsky se učících dětí. 
8
11
32



x
    
13

x
 
2)
 
Mnoţina všech jednociferných čísel končících trojkou  
A={3} 
Mnoţina všech dvojciferných čísel končících trojkou  B={13;23;33;43;53;63;73;83;93} 
Mnoţina všech dvojciferných čísel končících trojkou  C={103;113;123;133;143} 
 
Stačí sečíst počty členu jednotlivých mnoţin 
5
9
1



x
    
15

x
 
 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
 
 
Výsledek řešení: 
1)
 
Anglicky se učí 13 dětí. 
2)
 
Počet přirozených čísel menších neţ 150 končících trojkou je 15. 

KOMBINATORIKA                               
7 
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
Sportovní oddíl navštěvuje 14 dívek a 21 chlapců. Na začátku kaţdé sezony si mezi sebou 
zvolí kapitána. Kolik mají moţností volby? 
[Mají 35 moţností volby.] 
 
2)
 
Na mezinárodní výstavě psů se sešlo 7 labradorských retrívrů, 12 zlatých retrívrů, 
13 německých ovčáku a 6 bílých ovčáků. Na konci výstavy rozhodčí vyberou jednoho 
absolutního vítěze. Kolik mají moţností, jak vybrat? 
[Mají 38 moţností, jak vybrat.] 
 
3)
 
Veronika jede na lyţařský kurz, a protoţe od loňského roku hodně vyrostla, rozhodnou se 
rodiče, ţe jí koupí nové lyţe. Kdyţ přijdou do obchodu, zjistí, ţe mají šest různých značek 
lyţí. V délce, kterou rodiče Veroniky poţadují, mají od kaţdé značky čtyři páry. Z kolika 
lyţí mohou Veroničiny rodiče vybírat, jestliţe lyţe dvou značek jsou nad jejich finanční 
moţnosti?  
[Mohou vybírat z 16 lyţí.]  
 
4)
 
V mezinárodní autobusové lince se na cestě z Bratislavy do Vídně nachází 4 dívky, 2 děti 
ze Slovenska, 16 můţu, 6 dětí z jiné země neţ je Slovensko, 21 Slováků, z nichţ je 12 
muţů, a 4 ţeny jiné státní příslušnosti. Je autobus zaplněn, jestliţe se do něj vejde 42 lidí? 
 
[Není, protoţe se v autobuse nachází 35 lidí.] 
 
5)
 
Na mezinárodním ţákovském hokejovém utkání mezi Švédskem a Finskem je v hledišti 
126 můţu, 65 chlapců, 46 dětí ze Švédska, 50 dětí z Finska, 200 Švédů, z nichţ je 
polovina muţů, a 39 ţen z Finska. Kolik lidí je v hledišti? 
 
 [V hledišti je 309 lidí.] 
 
6)
 
Určete počet všech dvojciferných přirozených čísel,  
a)
 
v jejichţ dekadickém zápisu se kaţdá číslice vyskytuje nejvýše jednou. 
[81] 
b)
 
v jejichţ dekadickém zápisu se nevyskytuje jednička.  
[73] 
 
7)
 
Určete počet všech přirozených nejvýše dvojciferných čísel, v jejichţ dekadickém zápisu 
se kaţdá číslice vykytuje nejvýše jednou. 
[90] 
 
 

8 
KOMBINATORIKA                               
 
8)
 
Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, 
a)
 
která jsou menší neţ 162 a která jsou sudá. 
 [31] 
b)
 
která jsou menší neţ 150 a dělitelná 5.  
[10] 
c)
 
 která jsou menší neţ 150, větší neţ 100 a v jejich dekadickém zápisu se nevyskytuje 
nula.  
[136] 
9)
 
Jaký je počet všech přirozených čísel, která jsou menší neţ 206 a v jejichţ dekadickém 
zápisu se vyskytuje šestka nejvýše jednou?  
[18] 
 
 

KOMBINATORIKA                               
9 
 
Pravidlo sou
č
tu 
Varianta B 
Příklady: 
1)
 
Určete počet všech přirozených trojciferných čísel, v jejichţ dekadickém zápisu se kaţdá 
číslice vyskytuje nejvýše jednou. 
2)
 
Ve skupině uchazečů o práci ovládá kaţdý uchazeč alespoň jeden ze dvou jazyků.  
20 uchazečů mluví anglicky a 14 francouzsky. 10 uchazečů mluví oběma jazyky. Kolik 
uchazečů je na konkurzu? 
 
Řešení: 
1)
 
Počet všech trojciferných čísel 
900 
Počet všech trojciferných čísel se dvěma stejnými číslicemi  243 
Počet všech trojciferných se třemi stejnými číslicemi 
9 
243
9
900



x
 
648

x
 
 
2)
 
Počet uchazečů mluvících anglicky 
20 
Počet uchazečů mluvících francouzsky 
14 
Počet uchazečů mluvících oběma jazyky 
10 
Pokud bychom sečetli pouze uchazeče mluvící anglicky a francouzsky, uchazeči 
ovládající oba jazyky by byli započtení dvakrát. Proto je musíme odečíst. 
10
14
20



x
 
24

x
 
 
 
 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
 
 
Výsledek řešení: 
1)
 
Počet všech trojciferných čísel, v nichţ se kaţdá číslice vyskytuje 
nejvýše jednou, je 648 
2)
 
Na konkurz přišlo 24 uchazečů 
 

10 
KOMBINATORIKA                               
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, ve kterých se kaţdá číslice vyskytuje 
právě jednou.  
[0] 
2)
 
Určete počet všech trojciferných přirozených čísel, ve kterých se kaţdá číslice vyskytuje 
alespoň dvakrát. 
[252] 
3)
 
Ve skupině 50 lidí ovládá kaţdý člověk alespoň jeden programovací jazyk. 30 lidí ovládá 
programovací jazyk Pascal, 26 lidí ovládá jak programovací jazyk Pascal, tak 
programovací jazyk Delphi. Kolik lidí ve skupině ovládá programovací jazyk Delphi? 
 
[46] 
4)
 
V pokusné laboratoři se lék A testuje na 36 pokusných myších, lék B se testuje na 42 
pokusných myších, 12 myší dostává oba léky najednou. Kolik pokusných myší mají 
v laboratoři? 
[66] 
5)
 
Na konferenci se sejde 162 vědců. 102 vědců ovládá Angličtinu, 60 vědců ovládá 
Francouzštinu, 75 vědců ovládá Němčinu. Angličtinu a Francouzštinu zároveň ovládá 20 
vědců, Angličtinu a Němčinu zároveň ovládá 70 vědců a Francouzštinu a Němčinu 
zároveň ovládá 10 vědců.  Všechny jazyky ovládají pouze tři vědci.  
a)
 
Kolik vědců ovládá alespoň jeden ze tří jazyků?  
[140] 
b)
 
Kolik vědců neovládá ani jeden ze tří jazyků? 
[22] 
6)
 
V zábavním parku fungují tři atrakce. První atrakci absolvovalo jednoho 138 dětí, druhou 
atrakci absolvovalo 226 dětí, třetí atrakci absolvovalo 68 dětí. První a druhou atrakci 
zvládlo navštívit 80 dětí, druhou a třetí atrakci 70 dětí a první a třetí atrakci 60 dětí. 
Všechny tři atrakce zvládlo za jeden den jen 15 dětí. Kolik dětí navštívilo zábavní park, 
jestliţe kaţdé dítě bylo alespoň na jedné atrakci? 
 [237] 
 
 

KOMBINATORIKA                               
11 
 
Pravidlo součtu
 
Varianta C 
Příklady: 
Určete počet všech moţných tahů koněm na šachovnici 8x8. 
 
Řešení: 
Koněm můţeme táhnout vţdy do tvaru písmene L (jakýmkoli směrem). Rozdělíme si políčka 
do mnoţin podle počtu tahů, které lze z daného políčka udělat. 
 
 
 
Jednotlivé součty můţeme sečíst, protoţe mnoţiny druhů políček jsou disjunktní.  
336
128
96
80
24
8
8
16
6
16
4
20
3
8
2
4















 
 
 
Příklad: 
Varianta A
 
Varianta B
 
Varianta C
 
 
 
A
B
C
C
C
C
B
A
Z políčka označeného písmenem A je  moţno táhnout
B
C
D
D
D
D
C
B
dvěma způsoby, písmenem B třemi způsoby,
C
D
E
E
E
E
D
C
písmenem C čtyřmi způsoby, písmenem D šesti způsoby
C
D
E
E
E
E
D
C
a písmenem E osmi způsoby.
C
D
E
E
E
E
D
C
C
D
E
E
E
E
D
C
 Políčka označená písmenem A jsou 4,
B
C
D
D
D
D
C
B
 celkový součet  moţných tahů  z políčka A je 4x2=8.
A
B
C
C
C
C
B
A
 U dalších písmen postupujeme obdobně. 
Výsledek řešení: 
Počet všech moţných tahů koněm na šachovnici je 336. 
1)
 
 

12 
KOMBINATORIKA                               
 
Příklady k procvičení: 
1)
 
Určete počet všech moţných tahů koněm na šachovnici 8x8, jestliţe můţu táhnout pouze 
z černého políčka.  
[168] 
2)
 
Určete počet všech moţných tahů králem na šachovnici 8x8.  
[420] 
3)
 
Určete počet všech moţných tahů králem na šachovnici, jestliţe 
a)
 
 lze táhnou z bílého políčka pouze na bílé políčko a z černého políčka pouze na černé 
políčko. 
 [220] 
b)
 
lze táhnout z černého políčka pouze na bílé políčko a z bílého políčka pouze na černé 
políčko.  
[224] 
 
 

KOMBINATORIKA                               
13 
 
Pravidlo součinu
 
Počet všech uspořádaných k-tic, jejichţ první člen lze vybrat 
1
n  způsoby, druhý člen po 
výběru prvního členu 
2
n  způsoby atd. aţ k-tý člen po výběru všech předcházejících členů 
k
n
 
způsoby, je roven 
k
n
n
n



...
2
1
. 
 
Příklad: 
Určete počet všech pěticiferných čísel, v jejichţ dekadickém zápisu se kaţdá 
číslice vyskytuje nejvýše jednou. 
Řešení: 
Na místě desetitisíců můţeme vybírat z devíti číslic 1, 2, …, 9, takţe 
.
9
1

n
  
Na místě tisíců můţe být jakákoli cifra, kromě té, která byla na místě 
desetitisíců, takţe 
9
2

n
.  
Na místě stovek můţe být jakákoli cifra, kromě těch, které byly na místě tisíců 
a desetitisíců, takţe 
8
3

n
. 
Dále uvaţujeme podobným způsobem 
7
4

n
a 
6
5

n
. 
Nyní uţ stačí počty jen vynásobit. 
27216
6
7
8
9
9






x
 
 
 
 
Počet všech pěticiferných čísel, která odpovídají zadaným podmínkám, 
 
 
je 27 216.  
 

14 
KOMBINATORIKA