Операции над множествами Определение

Пример 2.13.2. Исследовать и построить график функции
y=cosx+12cos2xy=cos⁡x+12cos⁡2x
Решение. 1. Область определения этой функции - вся числовая ось. Функция ограничена на своей области определения, поскольку таким свойством обладают функции cosxcos⁡x и cos2x.cos⁡2x.
2. Область значений определить трудно, пока не найдены экстремумы.
Исследуем сначала функцию на симметричность и периодичность.
3. Функция четная, так как
y(−x)=cos(−x)+12cos(−2x)=cosx+12cos2x=y(x)y(−x)=cos⁡(−x)+12cos⁡(−2x)=cos⁡x+12cos⁡2x=y(x)
в силу четности косинуса.
4.  Функция периодическая с периодом 2π2π, поскольку таким свойством обладают функции cosxcos⁡x и cos2x.cos⁡2x. Это означает, что график функции достаточно строить на промежутке [0,π][0,π], затем его симметрично отразить относительно оси OyOy, а полученный график сдвигать вдоль оси OxOx на числа, кратные 2π2π вправо и влево.
5. Рассмотрим уравнение
cosx+12cos2x=0cos⁡x+12cos⁡2x=0,
2cosx+2cos2x−1=02cos⁡x+2cos2x−1=0
Отсюда cosx=−1±3√2cos⁡x=−1±32.
Корень −1−3√2−1−32 не лежит в области значений косинуса, поскольку его модуль больше 1. Второй корень −1+3√2−1+32 лежит в области значений косинуса. Поэтому имеем
x=±arccos−1+3√2+2πn,x∈Zx=±arccos⁡−1+32+2πn,x∈Z
На промежутке [0,π][0,π] лежит лишь один корень этого уравнения:
x1=arccos−1+3√2x1=arccos⁡−1+32
Он может быть найден только приближенно. На интервале (0,x1)(0,x1) функция положительна, а на интервале (x1,π)(x1,π) функция отрицательна.
6. При x=0x=0 функция y=32y=32.
7. Находим производную и приравниваем ее к нулю:
y′=−sinx−sin2x=0y′=−sin⁡x−sin⁡2x=0
Отсюда sinx+2sinx⋅cosx=0sin⁡x+2sin⁡x⋅cos⁡x=0, т.е. sinx=0sin⁡x=0 и x=0,πx=0,π (если рассматривать точки xx только из промежутка [0,π][0,π])
Второе уравнение cosx=−12cos⁡x=−12 дает решение x=23π.x=23π. На промежутке (0,2π/3)(0,2π/3) производная отрицательна, т.е. функция убывает. На промежутке (2π/3,π)(2π/3,π) производная положительна, т.е. функция возрастает.
Следовательно, x=0−x=0− точка максимума и y(0)=3/2.y(0)=3/2. Точка x=2π/3−x=2π/3− точка минимума и y(2π/3)=−3/4.y(2π/3)=−3/4. Точка x=π−x=π− точка максимума и y(π)=−1/2y(π)=−1/2.
Поэтому область значений функции есть промежуток [−3/4,3/2][−3/4,3/2].
8. Находим вторую производную и приравниваем ее к нулю:
y′′=−cosx−2cos2x=0y′′=−cos⁡x−2cos⁡2x=0
Отсюда x1,2=−1±17√8.x1,2=−1±178. Это точки перегиба.
Соответственно, определяются интервалы выпуклости вниз и вверх.

Начало формы
Конец формы