Операции над множествами Определение

Пример 2.5.4. Пусть функция y=x3sinx.y=x3sin⁡x. Найти y(10)y(10).
Решение. Имеем по формуле Лейбница
(x3sinx)(10)=x3sin(x+10π/2)+10⋅3x2sin(x+9π/2)+(x3sin⁡x)(10)=x3sin⁡(x+10π/2)+10⋅3x2sin⁡(x+9π/2)++10⋅9⋅3xsin(x+8π/2)+10⋅9⋅8sin(x+7π/2)=+10⋅9⋅3xsin⁡(x+8π/2)+10⋅9⋅8sin⁡(x+7π/2)= =−x3sinx+30x2cosx+270xsinx−720cosx=−x3sin⁡x+30x2cos⁡x+270xsin⁡x−720cos⁡x
Для нахождения старших производных сложной, обратной и параметрически заданной функций последовательно применяются формулы для нахождения первой производной соответствующей функции.
Пример 2.5.5. Пусть функция y=y(x)y=y(x) имеет вторую производную на интервале II, а функция z=z(y)z=z(y) имеет вторую производную на интервале JJ и образ интервала II при отображении yy лежит в JJ Найти вторую производную сложной функции z(y(x))z(y(x)).
Решение. Сложная функция z(y(x))z(y(x)) имеет вторую производную на интервале II и она равна
z′′xx=(z′x)′x=(z′y⋅y′x)′x=z′′yx⋅y′x+z′y⋅y′′xx=z′′yy⋅(y′x)2+z′y⋅y′′xxzxx′′=(zx′)x′=(zy′⋅yx′)x′=zyx′′⋅yx′+zy′⋅yxx′′=zyy′′⋅(yx′)2+zy′⋅yxx′′
Также находится вторая производная функции, заданной параметрически.
Пример 2.5.6. Функция
{x=costy=sintt∈[0,2π]{x=cos⁡ty=sin⁡tt∈[0,2π]
Найти вторую производную этой функции.
Решение. Имеем y′x=y′tx′t=−ctgt.yx′=yt′xt′=−ctgt. A
y′′xx=−dctgtdx=−(ctgt)′t(cost)′t=−1sin3tyxx′′=−dctgtdx=−(ctgt)t′(cos⁡t)t′=−1sin3t
в силу инвариантности формы дифференциала первого порядка.
Теорема 2.5.1. Производная любого порядка от элементарной функции является элементарной функцией.
Доказательство теоремы следует из правил дифференцирования и из таблицы производных.

Теорема Ферма

Пусть функция y=f(x)y=f(x) задана в окрестности точки x0x0 (т.е. в некотором интервале UU, содержащем точку x0)x0).
Теорема 2.6.1 (Ферма). Если в точке x0x0 функция ff достигает наибольшего или наименьшего значения на интервале и дифференцируема в x0x0, то f′(x0)=0.f′(x0)=0.
Доказательство. Пусть, для определенности функция ff принимает при x=x0x=x0 наибольшее значение в окрестности U(x0)={x:|x−x0|f(x)−f(x0)x−x0≥0f(x)−f(x0)x−x0≥0 (2.6.1)
а для x>x0x>x0, соответственно,
f(x)−f(x0)x−x0≤0f(x)−f(x0)x−x0≤0 (2.6.2)
Так как по условию теоремы в точке x0x0 функция uu имеет производную, то переходя в неравенствах (2.6.1) и (2.6.2) к пределу соответственно при x→x0−0x→x0−0 и при x→x0+0x→x0+0, получим f′(x0)≥0f′(x0)≥0 и f′(x0)≤0f′(x0)≤0, т.е. f′(x0)=0.f′(x0)=0.
Геометрическая интерпретация теоремы Ферма состоит в том, что если при x=x0x=x0 функция принимает наибольшее или наименьшее значения на некоторой окрестности точки x0x0, то касательная к графику функции в точке (x0,f(x0))(x0,f(x0)) параллельна оси (рис. 2.6.1).
Следствие 2.6.1. f(x)f(x) определена некоторой окрестности точки x0x0 и дифференцируема в этой точке. Если x0−x0− точка экстремума, то f′(x0)=0f′(x0)=0
Отметим также, что обращение производной в нуль является необходимым условием экстремума, но не достаточным. Например, для функции f(x)=x3f(x)=x3 имеем f′(0)=0f′(0)=0, но в точке x=0x=0 экстремума нет.