Операции над множествами Определение

Упражнение 2.2.1. Найти касательные к функции y=|x|y=|x| в любой точке x0∈R.x0∈R.
Упражнение 2.2.2. Показать, что касательная к эллипсу
x2a2+y2b2=1x2a2+y2b2=1
в точке (x0,y0)(x0,y0) имеет уравнение
xx0a2+yy0b2=1xx0a2+yy0b2=1

Умножение на постоянную

Если функция ff дифференцируема в точке x0x0 и CC некоторая постоянная, то функция Cf(x)Cf(x) также дифференцируема в точке x0x0 и
(Cf)′(x0)=Cf′(x0)(Cf)′(x0)=Cf′(x0).
Таким образом правило 1 дифференцирования звучит так: константу можно вынести за знак производной.
Доказательство. Пусть y=Cf(x)y=Cf(x),
Δy=Cf(x0+Δx)−Cf(x0)=C(f(x0+Δx)−f(x0))=CΔfΔy=Cf(x0+Δx)−Cf(x0)=C(f(x0+Δx)−f(x0))=CΔf
поэтому
ΔyΔx=CΔfΔx,Δx≠0ΔyΔx=CΔfΔx,Δx≠0
Перейдем к пределу при Δx→0Δx→0 и воспользуемся тем, что константу можно выносить за знак предела, получим
y′=Cf′(x0)y′=Cf′(x0).

Производная суммы или разности

Если функции ff и g дифференцируемы в точке x0x0, то функции f±gf±g также дифференцируемы в точке x0x0
(f±g)′(x0)=f′(x0)±g′(x0)(f±g)′(x0)=f′(x0)±g′(x0)
Таким образом, производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных.
Доказательство. Пусть
y=f(x)±g(x),Δf=f(x0+Δx)−f(x0),Δg=g(x0+Δx)−g(x0).y=f(x)±g(x),Δf=f(x0+Δx)−f(x0),Δg=g(x0+Δx)−g(x0).
Тогда
Δy=[f(x0+Δx)±g(x0+Δx)]−[f(x0)±g(x0)]=Δf±Δg;Δy=[f(x0+Δx)±g(x0+Δx)]−[f(x0)±g(x0)]=Δf±Δg;
поэтому
ΔyΔx=ΔfΔ±ΔgΔ,Δx≠0ΔyΔx=ΔfΔ±ΔgΔ,Δx≠0.
Пределы limΔx→0ΔfΔxlimΔx→0⁡ΔfΔx и limΔx→0ΔgΔxlimΔx→0⁡ΔgΔx, согласно предположению, существуют и равны соответственно производным f′(x0)f′(x0) и g′(x0)g′(x0), поэтому предел левой части последнего равенства при Δx→0Δx→0 существует и равен f′(x0)±g′(x0).f′(x0)±g′(x0). Но y′=limΔx→0ΔyΔxy′=limΔx→0⁡ΔyΔx, поэтому производная y′y′ в точке x0x0 существует и y′=f′(x0)±g′(x0)y′=f′(x0)±g′(x0).