Операции над множествами Определение

Определение 1.10.6. Функция f:E→Rf:E→R называется ограниченной, ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число CC, такое что для любого x∈Ex∈E выполнено, соответственно,
|f(x)|Легко по аналогии с определением 1.10.5 дать определение, например, функции, финально ограниченной при x→x0,x∈E.x→x0,x∈E.
Теорема 1.10.2. А. Если f:E→Rf:E→R есть финально постоянная при x→x0x→x0 и эта постоянная равна AA, то limx→∞f(x)=A.limx→∞⁡f(x)=A.
В. Если предел функции f:E→Rf:E→R существует при x→x0,x∈Ex→x0,x∈E, то функция ff финально ограничена при x→x0,x∈E.x→x0,x∈E.
C. Если предел функции f:E→Rf:E→R при x→x0x→x0 существует, то он единственный.
Доказательство. Утверждения AA и BB непосредственно вытекают из соответствующих определений. Необходимые записи предлагается проделать читателю. Докажем утверждение С. Допустим, что существуют два разных предела A1A1 и A2A2 у функции ff при x→x0,x∈E.x→x0,x∈E. Возьмем тогда окрестности V(A1)V(A1) и V(A2)V(A2) так, чтобы они не имели общих точек. Это можно сделать на основании свойства I3I3 действительных чисел.
Теперь из определения 1.10.3 предела функции следует, что существуют две проколотые окрестности U′E0(x0)U′E0⁡(x0) и U′′E0(x0)U″E0⁡(x0), такие что f(U′E0(x0))⊂V(A1)f(U′E0⁡(x0))⊂V(A1) и f(U′′E0(x0))⊂V(A2).f(U″E0⁡(x0))⊂V(A2). Отсюда следует, что V(A1)∩V(A2)≠∅.V(A1)∩V(A2)≠∅. Полученным противоречием и доказывается утверждение C.C.
Теорема 1.10.3. Пустьf:E→Rf:E→R и g:E→R−g:E→R− две функции с общей областью определения. Если пределы функций ff и gg существуют при x→x0,x∈Ex→x0,x∈E (limx→x0f(x)=A,limx→x0g(x)=B)(limx→x0⁡f(x)=A,limx→x0⁡g(x)=B), то
a) limx→x0(f(x)+g(x))=limx→x0f(x)+limx→x0g(x)=A+Blimx→x0⁡(f(x)+g(x))=limx→x0⁡f(x)+limx→x0⁡g(x)=A+B
b) limx→x0(f(x)⋅g(x))=limx→x0f(x)⋅limx→x0g(x)=A⋅Blimx→x0⁡(f(x)⋅g(x))=limx→x0⁡f(x)⋅limx→x0⁡g(x)=A⋅B
c) limx→x0f(x)g(x)=limx→x0f(x)limx→x0g(x)=ABlimx→x0⁡f(x)g(x)=limx→x0⁡f(x)limx→x0⁡g(x)=AB, еcли B≠0B≠0 и g(x)≠0g(x)≠0 пpи x∈Ex∈E.
Доказательство вытекает из соответствующей теоремы об арифметических свойствах предела последовательности, при этом следует использовать определение 1.10.4 предела функции "на языке последовательностей".