Операции над множествами Определение

Теорема 1.10.4. Если функции f:E→Rf:E→R u g:E→Rg:E→R таковы, что limx→x0f(x)=Alimx→x0⁡f(x)=A, limx→x0g(x)=Blimx→x0⁡g(x)=B, и A, то найдется проколотая окрестность UE0(x0)UE0(x0), для точек которой выполнено неравенство f(x).
Доказательство этой теоремы предоставляется читателю.
Следствие 1.10.1. Пусть limx→x0f(x)=A,limx→x0g(x)=B.limx→x0⁡f(x)=A,limx→x0⁡g(x)=B. Если в некоторой проколотой окрестности UE0(x0)UE0(x0)точки x0x0 :
a) выполнено f(x)>g(x)f(x)>g(x), то A≥BA≥B;
b) выполнено f(x)≥g(x)f(x)≥g(x), то A≥BA≥B;
c) выполнено f(x)>Bf(x)>B, то A≥BA≥B;
d) выполнено f(x)≥Bf(x)≥B, то A≥BA≥B.
Доказательство. Рассуждая от противного при доказательстве, например, пункта a), т.е. предполагая, что Ag(x)f(x)>g(x), x∈UE(x0)x∈UE(x0), так как VE0(x0)∩UE0(x0)≠0.VE0(x0)∩UE0(x0)≠0. Совершенно аналогично доказывается b). Пункты с) и d) получаются уже из а) и b) при g(x)≡Bg(x)≡B.
Теорема 1.10.5. Если между функциями f,g,hf,g,h, определенными на множестве EE, имеет место соотношение
f(x)≤g(x)≤h(x),x∈Ef(x)≤g(x)≤h(x),x∈E
и если
limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=Climx→x0⁡f(x)=limx→x0⁡h(x)=C
то существует также предел g(x)g(x) при x→x0,x∈E,x→x0,x∈E, и
limx→x0g(x)=Climx→x0⁡g(x)=C
Доказательство. Если limx→x0f(x)=limx→x0h(x)=Climx→x0⁡f(x)=limx→x0⁡h(x)=C, то для любого фиксированного ε>0ε>0 найдутся такие две проколотые окрестности U′E0(x0)U′E0⁡(x0) и U′′E0(x0)U″E0⁡(x0) что
C−εТогда для точек
x∈UE0(x0)⊂U′E0(x0)∩U′′E0(x0)x∈UE0(x0)⊂U′E0⁡(x0)∩U″E0⁡(x0)
будем иметь
C−εили
C+εСледовательно, limx→x0g(x)=C.limx→x0⁡g(x)=C.