Операции над множествами Определение

Определение 1.6.9. Пусть f:X→Y−f:X→Y− взаимно-однозначное соответствие. Функцияf−1:Y→Xf−1:Y→X называется обратной для функции ff, если f−1(y)=xf−1(y)=x в том и только в том случае, когда f(x)=yf(x)=y. Данными соотношениями обратная функция полностью определена.

Определения предела функции.
Пусть E−E− некоторое множество действительных (E⊂R)(E⊂R) и x0−x0− предельная точка множества E.E. Пусть f:E→R−f:E→R− вещественная функция, определенная на E.E.
Определение 1.10.1. Будем говорить, что функция f:E→Rf:E→R имеет своим пределом число AA при xx, стремящемся к x0x0, если для любого числа ε>0ε>0 существует число δ>0δ>0, такое что для любой точки x∈Ex∈E, такой, что 0<|x−x0|<δ0<|x−x0|<δ, выполнено неравенство |f(x)−A|<ε|f(x)−A|<ε.
В логической символике выделенные условия запишутся в виде
∀ε>0∃δ>0∀x∈E0<|x−x0|<δ⇒|f(x)−A|<ε∀ε>0∃δ>0∀x∈E0<|x−x0|<δ⇒|f(x)−A|<ε
Тот факт, что число AA есть предел функции f(x)f(x) при x→x0x→x0, записывают следующим образом:
limx→x0x∈Ef(x)=Alimx→x0x∈E⁡f(x)=A.
В этой записи условие, что x∈Ex∈E, как правило, будем опускать, предполагая его всегда выполненным. Часто про определение 1.10.1 предела функции говорят, что оно записано "на языке ε−δ′′ε−δ′′ или в форме Коши.
Пример 1.10.1. Показать, что
limx→0x∈Ex⋅sin1x=0limx→0x∈E⁡x⋅sin⁡1x=0.
где E=R∖{0}.E=R∖{0}. Здесь 0 не принадлежит E.E.
Решение. Пусть число ε>0ε>0 произвольное. Возьмем δ=ε.δ=ε. Тогда для всех x∈Ex∈E, для которых 0<|x|<δ0<|x|<δ, выполнено неравенство
∣∣x⋅sin1x∣∣≤|x|<δ=ε|x⋅sin⁡1x|≤|x|<δ=ε
Пример 1.10.2. Показать, что limx→2x2=4limx→2⁡x2=4
Решение. Зафиксируем число ε>0ε>0 и найдем δ>0δ>0, решая неравенство ∣∣x2−4∣∣<ε|x2−4|<ε относительно величины |x−2||x−2| :
|x−2|⋅|x+2|<ε|x−2|<ε|x+2||x−2|⋅|x+2|<ε|x−2|<ε|x+2|
Выражение ε|x+2|ε|x+2| в качестве δδ брать нельзя, так как оно зависит от xx, а из определения 1.10.1 следует, что δδ может зависеть только от εε и от x0.x0. Оценим поэтому величину ε|x+2|ε|x+2|, предполагая, что x∈(1,3)x∈(1,3), т.е. лежит в единичной окрестности точки x0=2x0=2 :
ε5<ε|x+2|ε5<ε|x+2|
Теперь в качестве δδ можно взять величину ε5ε5, предполагая при этом, что x∈(1,3)x∈(1,3) или, коротко, δ=min(ε5,1)δ=min(ε5,1).