Операции над множествами Определение

Определение 1.6.3. Элемент x∈Xx∈X называют аргументом функции ff, а элемент y=f(x)∈Yy=f(x)∈Y есть значение функции.
Мы будем рассматривать, если не оговорено противное, числовые функции, т.е. функции, у которых область определения и область значений являются числовыми множествами (как правило, множествами вещественных чисел).
Для функции мы часто будем употреблять обозначения y=f(x)y=f(x) или f:x→yf:x→y.
Определение 1.6.4. Пусть множество M⊂XM⊂X, тогда образом множество MM при отображении ff называют множество
f(M)={y∈Y:y=f(x),x∈M}f(M)={y∈Y:y=f(x),x∈M}
Другими словами, f(M)f(M) состоит из всех образов f(x)f(x) элементов x∈Mx∈M при отображении ff.
Определение 1.6.5. Пусть множество M⊂YM⊂Y. Прообразом множества MM при отображении ff называют множество
f−1(M)={x∈X:f(x)∈M}f−1(M)={x∈X:f(x)∈M}
Иногда рассматривают прообразы множеств
MM
, которые не содержатся полностью во множестве значений. В этом случае может быть такая ситуация, когда f−1(M)=∅f−1(M)=∅
Определение 1.6.6. Если выполнено равенство f(X)=Yf(X)=Y, то говорят, что функция ff отображает множество XX на множество YY. В этом случае ff называют сюръективным отображением, или сюръекцией, или отображением на.
Определение 1.6.7. Если при отображении f:X→Yf:X→Y разным элементам x∈Xx∈X соответствуют разные элементы y∈Yy∈Y, т.е. при x1≠x2x1≠x2 имеет место f(x1)≠f(x2)f(x1)≠f(x2), то отображение ff называется инъективным отображением или просто инъекцией.
Определение 1.6.8. Если одновременно отображение f:X→Yf:X→Y является инъективным и сюръективным, то ff называют биективным отображением, или биекцией, или взаимно-однозначным отображением XX на YY.
Таким образом, отображение ff является биективным (т.е. взаимно-однозначным отображением множества XX на множество YY ), если для любых элементов x1,x2∈Xx1,x2∈X x1≠x2x1≠x2 справедливо неравенство f(x1)≠f(x2)f(x1)≠f(x2), и, каково бы ни было y∈Yy∈Y, существует такой элемент x∈Xx∈X, для которого f(x)=y.f(x)=y.
Взаимно-однозначное отображение на еще называют взаимно-однозначным соответствием.
Для таких отображений можно определить обратную функцию.