Операции над множествами Определение

2.7.2. Неопределенность вида ∞∞∞∞.
Теорема 2.7.3 (правило Лопиталя). Пусть функции ff и gg дифференцируемы на интервале (a,b)(a,b), пределы
limx→a+0f(x)=∞,limx→a+0g(x)=∞limx→a+0⁡f(x)=∞,limx→a+0⁡g(x)=∞
производная g′(x)≠0g′(x)≠0 на (a,b)(a,b) и существует конечный или определенного знака бесконечный предел
limx→a+0f′(x)g′(x)=Klimx→a+0⁡f′(x)g′(x)=K
Тогда существует и предел
limx→a+0f(x)g(x)=Klimx→a+0⁡f(x)g(x)=K
В теореме 2.7.3, так же как в теореме 2.7.2, точка aa может принимать значения ±∞±∞
Пример 2.7.3. Найти предел limx→+0xlnx.limx→+0⁡xln⁡x.
Решение. Имеем
limx→+0xlnx=limx→+0lnx1/x=limx→+0⁡xln⁡x=limx→+0⁡ln⁡x1/x=
=−limx→+01/x1/x2=−limx→+0x=0=−limx→+0⁡1/x1/x2=−limx→+0⁡x=0
Может случиться, что применение правила Лопиталя не упрощает задачу отыскания пределов функции. Рассмотрим
limx→+∞x1+x2√=limx→+∞x′(1+x2√)′=limx→+∞1+x2√xlimx→+∞⁡x1+x2=limx→+∞⁡x′(1+x2)′=limx→+∞⁡1+x2x
т.е. получается предел дроби, обратной данной. Тем самым задача осталась той же. Вместе с тем заданный предел легко находится элементарно:
limx→+∞x1+x2√=limx→+∞11+1x2√=1limx→+∞⁡x1+x2=limx→+∞⁡11+1x2=1
Неопределенности 00,∞0,1∞00,∞0,1∞ можно раскрыть, предварительно прологарифмировав соответствующие функции.
Пример 2.7.4. Найти предел xxxx при x→+0.x→+0.
Решение. Используем предел из примера 2.7.3
limx→+0xlnx=0limx→+0⁡xln⁡x=0
Отсюда
limx→+0xx=limx→+0exlnx=1

Единственность разложения по формуле Тейлора

Поставим теперь обратную задачу. Пусть функция ff имеет nn производных в окрестности точки x0.x0. Предположим, что существует многочлен Qn(x)Qn(x) степени не выше nn вида
Qn(x)=c0+c1(x−x0)+…+cn(x−x0)nQn(x)=c0+c1(x−x0)+…+cn(x−x0)n
и такой, что:
f(x)=Qn(x)+o((x−x0)n),x→x0f(x)=Qn(x)+o((x−x0)n),x→x0 (2.8.3)
Что можно сказать о коэффициентах данного многочлена?
Полагая в формуле (2.8.3), что x=x0x=x0, получим f(x0)=c0.f(x0)=c0. Формулу (2.8.3) можно переписать в виде
f(x)−f(x0)=c1(x−x0)+…+cn(x−x0)n+o((x−x0)n),x→x0f(x)−f(x0)=c1(x−x0)+…+cn(x−x0)n+o((x−x0)n),x→x0
Деля последнее равенство на x−x0x−x0 и замечая, что o((x−x0)n)x−x0=o((x−x0)n−1)o((x−x0)n)x−x0=o((x−x0)n−1) при x→x0x→x0, получим
f(x)−f(x0)x−x0=c1+…+n⋅cn(x−x0)n−1+o((x−x0)n−1n),x→x0f(x)−f(x0)x−x0=c1+…+n⋅cn(x−x0)n−1+o((x−x0)n−1n),x→x0
Тогда
limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)=c1limx→x0⁡f(x)−f(x0)x−x0=f′(x0)=c1
Рассматривая далее равенство
f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)=f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)=
=c2(x−x0)2+…+cn(x−x0)n+o((x−x0)n)=c2(x−x0)2+…+cn(x−x0)n+o((x−x0)n)x→x0x→x0
деля его на (x−x0)2(x−x0)2 и применяя правило Лопиталя при вычислении предела при x→x0x→x0, будем иметь
limx→x0f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)(x−x0)2=f′′(x0)2=c2limx→x0⁡f(x)−f(x0)−f′(x0)(x−x0)(x−x0)2=f′′(x0)2=c2
Аналогичным образом вычисляются все остальные коэффициенты Qn(x)Qn(x) и они равны
ck=f(k)(x0)k!,k=0,1,…,nck=f(k)(x0)k!,k=0,1,…,n
т.е. Qn(x)−Qn(x)− это многочлен Тейлора.
Таким образом, получаем утверждение
Теорема 2.8.2. В условиях теоремы 2.8.1 разложение по формуле Тейллора единственно.
Данная теорема позволяет иногда находить разложение Тейлора, не вычисляя производные.
Пример 2.8.1. Разложить по формуле Маклорена функцию f(x)=11−xf(x)=11−x.
Решение. Известно, что функцию ff можно записать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
11−x=1+x+…+xn+…11−x=1+x+…+xn+…
тогда остаток xn+1+xn−2+…=xn+11−x.xn+1+xn−2+…=xn+11−x. Ясно, что
xn+11−x=o(xn),x→0xn+11−x=o(xn),x→0
Поэтому в силу единственности разложения формула Маклорена примет вид:
11−x=1+x+…+xn+o(xn),x→0