Операторлар назариясидан бошланғич маълумотлар

Коммутатив ва антикоммунитатив (нокоммутатив) операторлар


ва операторлар коммутатив операторлар бўлиши учун шарт бажарилиши лозим. ва операторлар учун ўринли бўлса, яъни тенглик бажарилса, бу ҳолда ва лар анти коммутатив (коммутатив бўлмаган) операторлар дейилади.
Коммутатив операторлар
(10)
каби белгиланади. Анти коммутатив операторлар
(11)
каби белгиланади.
Чизиқли операторларнинг хусусий функциялари ва хусусий қийматлари. спектрлар

Агар операторни бирор функцияга қўллаганда чиққан натижа шу функцияни бирор сонга кўпайтиришига баравар бўлса, уни

(12)
кўринишда ёзиш мумкин. (12) да ифодада функция узлуксиз, бир қийматли ва чекли бўлса у ҳолда бу функция -операторнинг хусусий функцияси дейилади. -ни эса операторнинг хусусий қиймати деб аталади. Одатда оператор ва унинг қиймати битта харф билан белгиланади. Масалан, . Яна бир мисол. Агар тенгламани оператор кўринишда ёзгак бунда иккинчи тартибли дифференция оператори бўлади, бунда Операторнинг хусусий қийматлари йиғими (тўплами) унинг спектри дейилади.
Агар оператор чизиқли дифференциал оператор бўлса, дифференциал тенгламаларнинг чизиқли назариясига кўра унинг спектри дискрет яъни, узлукли сонлар тўпламидан иборат бўлиши керак. Агар операторнинг хусусий қийматлар тўплами узлуксиз сонлардан ташкил топган бўлса, у ҳолда унинг спектри узлуксиз спектрдан иборат бўлиши керак. Токда спектрни бир қисми дискрет, бошқа қисми узлуксиз ҳам бўлиши мумкин. Масалан,
(13)
тенглама учун оператор спектрини кўрайлик.
(13) тенгламани хусусий функция ва хусусий қийматларга нисбатан ечайлик. Бу хол икки хил бўлиши мумкин. ни хар бир хусусий қийматига мос -хусусий функция тўғри келиши мумкин, яъни

ёки

Иккинчи ҳолда хусусий қиймат m марта айниган бўлади. ни айниш хусусий қийматига мос келган функциялар ўзаро ортогонал бўлмайди. Лекин улардан турли-туман чизиқли комбинациялар ҳосил қилиш мумкин, яъни бундаги функциялар ни хусусий функциялари бўлиши мумкин.