Оperatsiоn hisоb. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi
Download 0.65 Mb. Pdf ko'rish
|
5-ma'ruza. Operasion hisob. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi
Оperatsiоn hisоb. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi. Agar haqiqiy o’zgaruvchi
funksiya uchun quyidagi shartlar bajarilsa, ya’ni, 1) 0
bo’lganda, 0
bo’lsa; 2) shunday 0
0 M , S o’zgarmas sonlar mavjud bo’lsaki va
st f t Me bo’lsa; 3)
f t bo’lakli uzluksiz, ya’ni chekli intervalda chekli sondagi birinchi tur uzilish nuqtalariga ega bo’lsa, u holda quyidagi xosmas integralga Laplas almashtirishi deyiladi: . ) ( ) ( 0 dt t f e p F pt
F p funksiya
funksiyaning Laplas tasviri, yoki L tasviri, yoki qisqacha tasvir deb ataladi.
f t funksiya esa boshlang’ich funksiya, yoki original deb ataladi va bunday yoziladi: F( p ) f ( t ) yoki F( p ) f ( t ), yoki F( p ) L f ( t ) , bunda 0 Re p s deb faraz qilinadi. Asosiy xossalari 1.
Tasvirning chiziqlilik xossasi. Ixtiyoriy
k c k , ,...n o’zgarmas sonlar uchun quyidagi tenglik o’rinli
k n k k k k k k s p t F c t f c 1 1 ) max(
Re ) ( ) ( . 2. Original argumentini musbat songa ko’paytirish xossasi (o’xshashlik teoremasi). Har qanday o’zgarmas musbat a>o son uchun quyidagi tenglik o’rinli 0 1 p f ( at ) F , Re p as a a
3. Original argumentni musbat vaqt 0 ga kechikish xossasi (kechikish teoremasi). Agat original
f ga kechiksa, tasvir
ga ko’paytiriladi, ya’ni 0 Re , s p p F e t f p
4. Tasvirning kechikish xossasi (siljish teoremasi). Agar original at e ga
ko’paytirilsa, tasvir a ga kechikadi, ya’ni 0 ) Re( ). ( ) (
a p a p F t f e at
5. Originalni differenalash xossasi. Agar f(t) va uning hosilalari
(k=1,2,…n) bo’lsa,
1 1 0 2 0 0 ) k ( k k f t p F p pk f pk f f bo’ladi. Xususan,
0
t pF p f bo’ladi. 6. Originalni integrallash xossasi. 0 0 . Re ), ( 1 ) ( s p p F p d f t 7.
Tasvirni differensiallash xossasi. Tasvirni argument p bo’yicha differensiallasak, original –t ga ko’paytiriladi, ya’ni )... (
1 ( ) ( ) ( t f t p F n n n 8.
Tasvirni integrallash xossasi. p t f t dp p F ). ( 1 ) ( 9.
Tasvirlashni ko’paytirish xossasi (Borel teoremasi). Agar f(t)=F(p) va g(t)=G(p) bo’lsa,
t d t g f g f p G p F 0 ) ( ) ( ) ( ) (
bo’ladi. Simvol f t va
g t funksiyalarning kompozitsiyasi (o’ramasi) deb ataladi. 10.
Dyuamel integrali. Agar
f t F p
va
g t G p
bo’lsa, ) )( ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( t g f t g f p G p pF bo’ladi. Bu yerda
d g t f t g f 0 ) ( ) ( ) )( ( Uzluksiz
f t funksiyaning tasvirlar jadvali № F p
f t 1 1 G t
2 p 1
3
p 1 e -at 4
p ln 1 a t 5 2 1 p t 6 1 1
a p at n e n t
7 2
p t sin 8 2 2 p t sh
9
p a p 1
a e e t at 10
2 2 p p t cos 11
2 2 p p t ch
12
2 a p k p
e t a k 1
13 2
p k p
tg t k , 1 sin 1 2 2 14
2 2 p p t e t cos
15
2 2 p t e t sin
16
a p k p
e k e a k t at 17
2 1 a p p
1 1
e at at 18
p p 2 1 2 1 a at e at
Misollar. 1. Xevisaydning birlik funksiyasi berilgan: 0
1 0
agar t bo' lsa, G t , agar t bo' lsa. Ushbu funksiyaning Laplas tasvirini toping. Yechish. 0
bo’lganda, . 1 1 ) ( ) ( 0 0 p dt e dt e t G t G pt pt
Shunday qilib, . 1 ) ( p t G
19 p a p p 1
a ae e a t at 1 20
2 2 1 p p t t sin
1 2 21
4 2 2 p p t 2 sin 22
4 2 2 2
p p t 2 cos 23
2 2 2 1
p t t sin
1 3 24
2 2 2 p p t t sin 2 25
n p 1
0 1 1 butun n n n t 26
p arctg
t t sin 1 27
p a p ln
t e e t 1 28
2 2 2 ln p a p
t cos
1 2 2.
) ( ' 0 , , ' 0 , 0 son kompleks a lsa bo t agar e lsa bo t agar t f at tasvirini toping. Yechish. . 1 ) ( ) ( 0 ) ( 0 a p dt e dt e t f t F t a p pt
Shunday qilib, ) Re (Re 1 . ) ( a p a p e t G at . Bu yerda yozilgan
G t ko’paytma
0
qiymatlarini “o’chiradi” (nolga aylantiradi). Shuning uchun 0
da
0
shartin birlik funksiya G(t) ga ko’paytirilgan deb faraz qilamiz. Masalan:
n at G( t ) sin t G t t , G t , e va hokazo. Biz G(t) ni tushirib qoldiramiz. 3.
at e funksiyaning tasviri a p 1 dan foydalanib, t ch t sh t t , , cos
, sin
funksiyalarning tasviri topilsin.
2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 cos
1 1 2 1 2 1 sin p p p p e e t ch p p p e e t sh p p p p e e t p p p i e e i t t t t t t i t i t i t i
4. f(t)=4-5e 2t originalning tasviri topilsin. Yechish: 2 2 8 2 5 4 ) ( p p p p p p F
5. f(t)=3t 3 e -t +2t 2 -1 originalning tasviri topilsin. Yechish: . ' 1 3 3 3 , , 1 3 1 2 , 1 2 1 1 , 1 1 1 1 : 1 1 4 3 3 4 3 2 3 2 2 ladi bo p e t demak e t p p e t p p te p p olamiz hosila ket ketma tasvirdan p e t t t t t . ' 2 1 : ' . 1 ' 1 . 1 1 2 3 2 2 ladi bo teng t p p olamiz hosila yicha bo p Yana t p ni ya t p edi p
Demak, . 1 4 1 18 1 2 2 1 3 3 ) ( 3 4 3 4 p p p p p p p F
Mustaqil yechish uchun misollar: 2 1. f ( t ) sin t ; 2. f ( t ) shat cos t ; 3. f ( t ) chat cos t ; 4 4 3 2
. f ( t ) e sin t cos t ; 2 5 t . f ( t ) e cos t . Оriginalni tasvir bo`yicha tiklash usullari.
Funksiyaning tasviri berilgan bo’lsa, uning originalini tasvirlar jadvalidan foydalanib, tasvir kasr ratsional funksiyalar bo’lsa eng soda kasrlarga yoyishdan foydalanib, originallarni toppish mumkin. 1. Agar F(p) tasvirni quyidagi qator ko’rinishida yozish mumkin bo’lsa, 0 1 ) ( k k k p A p F
u vaqtda f(t) original 0 1 k k k k p t A ga teng bo’ladi. Buni birinchi yozish teoremasi deyiladi. 2. Agar tasvir 1 1 n k k k k A( p ) A( p ) F( p ) B( p ) B( p ) p p bo’lsa, 1
bo’ladi. Bu yerda 1 2 n , , p p , p polinomning karrali bo’lmagan ildizlari. Bunda ikkinchi yoyish teoremasi deyiladi. 3. Agar tasvir ) ( ) ( ) ( p B p A p F bo’lib, maxrajdagi polinomning ildizlari 1 2
, m , m , m
karrali bo’lsa, n k m t p m k k k k k t f e t m c p B p A p F 1 1 ) ( )! ( ) ( ) ( ) ( bo’ladi. 4. ) ( ) ( ) ( p B p A p F tasvirda 1 2
, , p p , p
lar oddiy yoki karrali qutblar bo’lsa, original chegirma orqali topiladi:
( ) ( Re ) ( ) ( ) ( 1
f e p F s p B p A p F n k t p k k 5. Agar
0
s da analitik va 0 |p| lim F( p ) bo’lib, 100
100 s s | F( s )d
xosmas integral yaqinlashuvchi bo’lsa,
100
100 ) ( | 2 1 ) (
s pt dp e p F i t f Riman- Mellin formulasi o’rinli bo’ladi. Misollar: 1. 5 2 ) ( 2 p p p p F tasvirning originali topilsin. Yechish: . 2 sin 2 cos
5 2 , 2 sin
4 1 1 ; 2 cos 4 1 1 : ) 15 ( ) 14 ( . 4 1 1 4 1 1 4 1 1 1 4 1 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t e p p p Demak t e p t e p p iz foydalanam dan formulalar va jadvaldagi p p p p p p p p p p t t t 2.
8 1 ) ( 3 p p F tasvirning originali topilsin. Yechish:
. 3 sin
3 3 cos 12 1 12 1 3 1 3 3 3 1 1 2 1 12 1 3 1 3 1 2 1 12 1 4 2 4 12 1 2 1 12 1 8 1 . ' 3 1 12 1 , 12 1 1 2 4 2 , , 4 2 2 8 1 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 t t e e p p p p p p p p p p p p vaqtda U ladi bo C B A bundan p c Bp p p A aniqlaymiz larni koeffisent C B A p p c Bp p A p t t
3. 4 1 1 ) (
p p F tasvirning originali topilsin. Yechish:
! 16 ! 12 ! 8 ! 4 ) ( lg ' 1 ...
1 1 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 16 12 8 4 9 8 8 4 5 4 5 4 t t t t t f di yaqinlasha anda bo p qator Bu p p p p p p p p p
2 8
4 5
. p p ;
2 p c . p a p b ;
2 5 3 3 1 2 5
. p p p ; 2 1 4 p . p p ; 2 2 2 2 5 p . p a p b .
Fizika va texnikaning ko’pgina masalalari xususiy hosilali differentsial tenglamaga keltiriladi. Shuning uchun biz bu tenglamalarni turlarga ajratish va ularni yechish masalasi bilan shug’ullanamiz. Ikkinchi tartibli xususiy hosilali quyidagi tenglama berilgan bo’lsin:
11 12
1 2 2 0 xx xt tt x t a U a U a U bU b U сU f . (1) Bu tenglamadagi f c b b a a a , , , , , , 2 1 22 12 11 - funksiyalar faqat x va t ga bog’liq funksiyalar. Agar bu funksiyalar x va t ga bog’liq bo’lmasa bu tenglama doimiy koeffitsientli tenglama bo’ladi. 0
bo’lsa (1) tenglama bir jinsli tenglama deyiladi.
), ,
t x
) , ( y x z
(2)
almashtirish yordamida (1) ni yechish uchun qulay bo’lgan sodda, ya’ni kanonik formaga keltiramiz. Buning uchun xususiy hosilalarni hisoblaymiz:
xx xx ч x x x xx U U U U U U 2 2 2
tt tt t t t n t tt U U U U U U 2 2 2
(3)
xt xt t x ч t t x t x чt U U U U U U ) (
(3) ni (1) ga qo’yib 0 2 22 12 11 F U a U a U a
(4) tenglamaga ega bo’lamiz. Bu tenglamada
t t x x a a a a 2 22 12 2 11 11 2
t t x t t t x x x a a a a 22 12 11 12 ) (
t t x x a n a a a 2 22 12 2 11 22 2
f cU U b U a F 2 1 va ni tanlash uchun quyidagi tenglamani ko’aramiz. Ushbu
0 2 2 22 12 2 11
a dxdt a dt a
(5) tenglama (1) ning xarakteristik tenglamasi deyiladi. 0 2
12 2
dx dt a dx dt a n desak, bundan quyidagi ikki tenglama kelib chiqadi.
11
11 12 2 12 a a a a a dx dt
(6)
11 22 11 12 2 12 a a a a a dx dt (7) va 22
12 2
a a D ifoda tenglamaning turini aniqlaydi. Agar biror M nuqtada 1. 0
11 12 2 a a a D bo’lsa, (1) tenglama giperbolik turdagi 2. 0
11 12 2 a a a D bo’lsa, (1) tenglama parabolik turdagi 3. 0
11 12 2 a a a D bo’lsa, (1) tenglama elliptik turdagi tenglamaga mansub bo’ladi. 1.To’lqin tarqalish tenglamasi: 2 2
2 2 x u a t u (*)
(*) tenglama torning ko’ndalang tebranishini, sterjenni uzunasiga tebranishi, simda elektr tebranishlar, aylanuvchi valdagi aylanma tebranishlar, gazning tebranishlari va shu kabi tebranuvchi jarayonlarni ifodalaydi. Bu tenglama giperbolik tipdagi eng sodda tenglamadir. 2. Issiqlik tarqalish tenglamasi: 2 2
x u a t u (**)
(**) tenglama issiqlik tarqalish jarayonini, g’ovak muhitda suyuqlik va gazning filtrlanish masalasini ifodalaydi. Bu tenglama parabolik tipdagi eng sodda tenglamadir. 3. Laplas tenglamasi. 2 2 2 2 2 0 u u a t x (***) (***) tenglama elektr va magnit maydonlari haqidagi masalani, statsionar issiqlik holati haqidagi masalani, gidrodinamika, diffuziya va shunga o’xshash masalalarni o’rganishga olib keladi. Bu tenglama elliptik tipdagi eng sodda tenglamadir.
Bu tenglamalar uch o’zgaruvchi uchun quyidagicha bo’ladi. To’lqin tenglamasi: 2 2 2 2 2 2 2 y u x u a t u
(* 1 ) Issiqlik tarqalish tenglamasi: 2 2 2 2 2 y u x u a t u
(** 1 ) Laplas tenglamasi: 0 2 2 2 2 2 2 t u y u x u
(*** 1 )
Matematik-fizikada tor deganda egiluvchan va plastik ip tushiniladi. Torda har qanday vaqt momentida paydo bo’lgan zo’riqish uning profiliga o’tkazilgan urinma bo’yicha yo’nalgan bo’ladi. Masalan, L uzunlikdagi tor boshlang’ich momentda OX o’qining O dan L gacha bo’lgan kesmasi bo’yicha yo’nalgan bo’lsin. Torning uchlari 0 X va
L X nuqtalarga biriktirilgan deb faraz qilamiz. Agar torni uning dastlabki holatidan chetlashtirsak, so’ngra o’z holiga qo’yib yuborsak yoki torni chetlatmasdan, boshlang’ich momentdan uning nuqtalariga biror tezlik bersak, u holda torning nuqtalari harakatga keladi - tor tebrana boshlaydi. Masala har qanday vaqt momentida tor shaklini aniqlashdan hamda torning har bir nuqtasining vaqtga qarab harakat qonunini aniqlashdan iborat. Tor nuqtalarining boshlang’ich holatidan kichik chetlanishlarini qaraymiz. Sunga kqra, tor nuqtalarining harakati OX o’qqa perpendikulyar holda va bir tekislikda vujudga keladi deb U M M
0 x x+ x
X
+
U M M 1
M 2
0 x x 1 x 2 X
U(x,t)
faraz qilish mumkin. Bu faraz bilan torni tebranishi jarayoni bitta U( x,t ) funktsiya bilan ifoda etiladi. Bu funksiya abssissasi t momentida siljish miqdorini beradi (1-chizma). Biz torninng (X, U) tekislikda kichik chetlanishlarini qarayotganimiz uchun, tor elementi uzunligi M 1 M 2 uning OX o’qdagi proyeksiyasiga teng, ya’ni 1 2
1 x x
deb faraz qilamiz. Yana torning barcha nuqtalarida taranglik ham bir xil deb faraz qilamiz: uni T bilan belgilaymiz. Torning MM 1 elementini qaraymiz (2-chizma). Bu elementning uchlarida T kuchlar torga urinma bo’yicha tahsir etadi. Urinmalar OX o’q bilan va burchaklar hosil qilsin. Bu holda
MM 1
elementga tasir
etuvchi kuchlarning OU o’qdagi proyeksiyasi sin ) sin( T T ga teng bo’ladi. burchak juda kichik bo’lgani uchun sin tg
deb faraz qilish mumkin va biz quyidagiga ega bo’lamiz: 1 0 , x x ) t , x ( u T x x ) t , x x ( u T x ) t , x ( u x ) t , x x ( u T Ttg ) ( Ttg sin T ) sin( T 2 2 2 2 Biz
x,t ) f ( x,t ) f ( с ) x, c x;x x Lagranj formulasidan foydalandik. Harakat tenglamasini hosil qilish uchun elementga qo’yilgan tashqi kuchni inersiya kuchiga tenglash kerak, torning chiziqli zichligi bo’lsin. U holda tor elementining massasi x bo’ladi. Elementning tezlanishi 2 2
u ga teng. Demak, Dalamber printspiga ko’ra ushbu tenglikka ega bo’lamiz: x x u T t u x 2 2 2 2 . T a 2 belgilash orqali, harakatning ushbu tenglamasi hosil bo’ladi:
2
2 2 2 x u a t u
(4) Bu to’lqin tenglama degan tenglama torning tebranish tenglamasidir. Torning harakatini to’la aniqlash uchun (4) tenglamani o’zigina yetarli emas. Izlanayotgan U(x,t) funksiya ya’ni torning uchlarida (x 0 va x l da) qanday bo’lishini ko’rsatuvchi chegaraviy shartlarni hamda boshlang’ich (t 0) momentda tor holatini ifodalovchi 2-chizma 1-chizma boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishi kerak. Chegaraviy va boshlangich shartlar chetki shartlar deb ataladi. Masalan, biz faraz qilganimizdek, x 0 va x da tor uchlari qo’zg’almas bo’lsin. U holda T qanday bo’lganida ham ushbu tenglik bajarilishi kerak. U(0, t)
0 U( , t)
0
(5) Ushbu tengliklar chegaraviy shartlar deyiladi.
Download 0.65 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling