Оperatsiоn hisоb. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi

Misol. Quyida berilgan tenglamalardan qaysilari xususiy hosilali differensial tenglamani 

ifodalaydi? Ushbu tenglamalarning tartibini toping.  

1) 

0

x

y

x

y

ln( xu ) lnu

ln( u u ) xy









; 

3) 

2

6

5

0

xx

y

xyy

tg u

u

u

x

y sin u

 

 



; 

2)  

2

2

0

xy

xy

cos u

sin u

x



 

;  

 

4) 

3

0

xy

x

x

u

u

x cos u

 



. 

Yechish.  Berilgan  ushbu  tenglamalarda  ba’zi  elementar  almashtirishlardan  keyin  hosil 

bo’lgan  tenglamalarni  yozamiz.  Buning  uchun  1)  –  tenglamada  elementar  metematikadan 

ma’lum bo’lgan  

C

AB

C

AB

C

B

A

ln

ln

)

ln(

ln

ln

ln











 

ayniyatni hisobga olsak, bu tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: 

0

)

ln(

ln

)

ln(









xy

u

u

u

xu

y

x

y

x

 

0

ln





xy

u

u

u

xu

y

x

y

x

 

0

ln x

xy





. 

Hosil  bo’lgan  bu tenglamada esa  noma’lum  funksiya 

u

u( x, y )



  va  uning  birorta  ham 

xususiy hosilalari ishtirok etmadi. Bu esa 1) tenglamaning xususiy hosilali differensial tenglama 

emasligini bildiradi.  

Xuddi  shu  kabi  2)  –  tenglamada  ham  trigonometriyadan  ixtiyoriy 

(

,

)



  

  uchun 

o’rinli  bo’lgan 

2

2

1

Cos

Sin









  ayniyatni  e’tiborga  olsak,  ushbu  tenglama  quyidagi 

ko’rinishga keladi:  

0

sin

cos

2

2







x

u

u

xy

xy

 

1

0

x

 

.  

Bu  tenglama  va  o’z  navbatida  2)  –  tenglama  ham  ta’rifga  asosan  xususiy  hosilali 

differensial tenglama emas ekan.  

3)  va  4)  –  tenglamalarni  boshqa  elementar  almashtirishlar  natijasida  yanada 

soddalashmaydi, ya’ni unda ishtirok etayotgan xususiy hosilalarni  yo’qotib bo’lmaydi. Shuning 

uchun ham ta’rifga binoan 3) va 4) tenglamalar xususiy hosilali differensial tenglamalar bo’ladi. 

3)  tenglamada  noma’lum  funksiya 

u

u( x, y )



  bilan  birga   

xx

y

xyy

u ,u ,u

  xususiy  hosilalar  ham 

ishtirok etmoqda. Ko’rinib turibdiki, unda ishtirok etgan xususiy hosilalarning eng katta tartibi 3 

ga teng bo’lib, u 

xyy

u

 dan iborat. Demak 3) xususiy hosilali differensial tenglamalarning tartibi 3 

ga teng ekan.  

Xuddi  shu  kabi,  4)  tenglamada  ham  noma’lum  funksiya 

u

u( x, y )



  bilan  birga 

xy

x

u ,u  

xususiy hosilalar qatnashmoqda. Ulardan eng katta tartibli xususiy hosila 

xy

u  bo’lib, uning tartibi 

2 ga teng. 

Agar ikkinchi tartibli xususiy hosilali diffrernsial tenglama  























2

2

2

1

2

1

2

2

1

12

2

1

2

2

1

11

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

2

)

,

,

,

(

n

n

nn

n

n

x

u

x

x

x

a

x

x

u

x

x

x

a

x

u

x

x

x

a









 

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

1

1

1

2

1

1

2

1

1

n

n

n

n

n

n

n

x

x

f

x

x

u

x

x

c

x

u

x

x

x

b

x

u

x

x

x

b































 

ko’rinishda  bo’lsa  unga  ikkinchi  tartibli  xususiy  hosilali  chiziqli  differensial  tenglama  deb 

ataladi. 

Agar  yuqoridagi tenglamada 

1

0

n

f ( x ,

, x )



  bo’lsa,  unga  bir  jinsli, aks  holda  bir  jinsli 

bo’lmagan xususiy hosilali chiziqli differensial tenglama deyiladi.     

Masalan, 

0

)

,

(

,

0

,

1

)

,

(

2

2

2

2

2





























































y

x

u

y

u

y

x

u

y

u

x

y

u

x

u

y

x

xyu

y

u

y

x

u

x

 

differensial  tenglamalar  ikki  o’zgaruvchili 

u

u( x, y )



  funksiyaga  nisbatan  mos  ravishda 

birinchi  tartibli  bir  jinsli  bo’lmagan  va    ikkinchi,  uchinchi  tartibli  bir  jinsli  xususiy  hosilali 

chiziqli  differensial  tenglamalar  bo’ladi,  chunki  ularda  noma’lum  funksiya  va  uninh  xususiy 

hosilalari  oldidagi  koeffisientlar  faqat   

( x, y )

  o’zgaruvchilargagina  bog’liq.  Xususan,  birinchi 

tenglama uchun 

1

b ( x, y )

x,



 

2

b ( x, y )

y,



 

1

c( x, y )

xy, f ( x, y )





 tengliklar o’rinli.  

Agar 

yuqoridagi 

xususiy 

hosilali 

differernsial 

tenglamada 

1

ij

i

a , b , i, j

,n



 

koeffitsiyentlar faqat 

1

n

( x ,

,x )

 o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lmasdan  

1

k

u

u,

,k

,n

x







 larga ham 

bog’liq bo’lsa,  ya’ni tenglamaning ko’rinishi    







n

n

n

n

x

x

x

x

n

nn

x

x

x

x

n

u

u

u

u

x

x

a

u

u

u

u

x

x

x

a

)

,

,

,

,

,

,

(

)

,

,

,

,

,

,

,

(

1

1

1

1

1

2

1

11











 

  

)

,

,

,

(

)

,

,

,

,

(

)

,

,

,

(

1

2

1

1

1

1

u

x

x

f

u

u

x

x

x

b

u

u

x

x

b

n

x

n

n

x

n

n

















   

   

kabi  bo’lsa,  unga  ikkinchi  tartibli  xususiy  hosilali  kavazichiziqli  differensial  tenglama  deb 

ataladi.  

Xuddi shu kabi birinchi tartibli xususiy hosilali  kavazichiziqli differensial tenglama deb  

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

)

,

,

,

(

1

1

1

1

1

u

x

x

f

u

u

x

x

b

u

u

x

x

b

n

x

n

n

x

n

n















 

ko’rinishdagi  tenglamaga  aytiladi.  Agar  yuqoridagi  tenglamada 

1

i

b , i

,n



  koeffisiyentlar 

noma’lum  funksiya 

u

u( x, y )



  ga  bog’liq  bo’lmasa  unga  birinchi  tartibli  xususiy  hosilali 

chiziqli differensial tenlama deyiladi.  

Misol. Quyida berilgan   

0

)

sin(

)

5

(

)

cos(

3

2

2















xy

xyuu

u

x

u

u

u

u

u

u

u

y

x

yy

y

x

xy

y

xx

x

, 

0

cos

3

2

2

2









x

y

yu

x

uu

xu

y

x

 

tenglamalar  mos ravishda  ikkinchi  va  birinchi tartibli kvazichiziqli  xususiy  hosilali differensial 

tenglamalar  bo’ladi.  Chunki,  ularning  birinchisida  fornulada  belgilangan  koeffisientlar 

quyidagilarga teng: 

),

5

(

)

,

,

,

(

),

cos(

5

,

1

)

,

,

(

,

2

)

,

,

(

22

12

11

y

x

y

x

y

y

x

x

u

u

u

u

y

x

a

u

u

y

x

a

u

u

y

x

a









 

2

1

2

b ( x )

x ,b ( x, y,u )

xyu, f ( x, y )

sin( xy )







. 

Ikkinchi tenglamada esa fornulada belgilangan koeffisientlar quyidagilarga teng: 

x

y

y

x

f

y

x

y

x

c

u

u

y

x

b

x

x

b

2

2

2

1

)

,

(

,

)

,

(

,

cos

3

)

,

,

(

,

2

)

(









. 

Xususiy  hosilali  differernsial  tenglamaning  yechimi  deb  uni  ayniyatga  aylantiruvchi 

funksiyaga aytiladi.  

Xususiy hosilali differernsial tenglamani  yechish  deb uning barcha yechimlarini topish 

yoki yechimga ega emasligini ko’rsatish jarayoniga aytiladi.  

Ma’lumki,  oddiy  differensial  tenglamani  integrallash  orqali  topiladigan  yechim  unung 

umumiy  yechimi  yoki  umumiy  integrali  deb  atalib,  u  odatda  bir  nechta  erkin  parametrlarga 

bog’liq  bo’ladi.  Umumiy  yechimdan  parametrlarning  berilgan  qiymatlarida  hosil  bo’luvci 

yechimlarga  xususiy  yechimlar  deyiladi.  Agarda  tenglamaga  qo’shimcha  hech  qanday  shartlar 

ilova qilinmagan holda differensial tenglamaning xususiy yechimlari cheksiz ko’p bo’ladi.  

Misol.  Berilgan   

0

6

'

"







y

y

y

 

ikkinchi tartibli bir jinsli oddiy differensial tenglama yechimini 

kx

y( x )

e



 ko’rinishida izlaymiz. 

U holda  

kx

kx

e

k

x

y

ke

x

y

2

)

(

'

,

)

(

'





 

bo’lib,  uni  berilgan  tenglamaga  qo’yib  va  tenglamaning  ikkala  tomonini  musbat 

kx

e

  ifodaga 

bo’lamiz. Natijada biz xarakteristik tenglama deb ataluvchi  

0

6

2







k

k

 

kvadrat  tenglamaga  kelamiz.  Uning  yechimlari 

1

2

3

2

k

, k

 



  bo’lib,  dastlabki  tenglamaning 

chiziqli bog’lanmagan yechimlari  

x

x

e

x

y

e

x

y

2

2

3

1

)

(

,

)

(







 

bo’lib, tenglamaning umumiy yechimi  

x

x

e

C

e

C

x

y

2

2

3

1

)

(







 

ko’rinishda bo’ladi va bunda 

1

2

C , C  lar ixtiyoriy doimiylar (parametrlar).  

Xuddi shu kabi  xususiy  hosilali differensial tenglama  ham odatda cheksiz ko’p sondagi 

yechimlarga  ega  bo’lib,  umumiy  yechim  bir  qancha  ixtiyoriy  funksiyalardan  bo’g’liq  bo’ladi.  

Ushbu  ixtiyoriy  funksiyalarni  tanlash  bilan  umumiy  yechimdan  hosil  qilinuvchi  yechimlarga 

xususiy yechimlar deyiladi. Umumiy yechimdan hosil qilib bo’lmaydigan tenglama yechimlariga 

esa maxsus yechimlar deb ataladi.  

Misol. 

2

1

6

u ( x, y )

x

xy





,     

2

2

2

6

6

u ( x, y )

x

xy

y







, 

2

1

6

1

u ( x, y )

x

xy

y





 

 

funksiyalarning har biri  xususiy hosilali 

y

x

u

x





12

 

birinchi  tartibli  chiziqli  differensial  tenglamaning  yechimlari  bo’ladi.  Chunki  berilgan 

funksiyalarning  har  biridan 

x   bo’yicha  olingan  xususiy    hosilalar  hammasi   

12x

y



  ga  teng. 

Qaralayotgan 

12

x

u

x

y





 xususiy  hosilali  differensial tenglamaning umumiy  yechimini topish 

uchun  uning  o’ng  tomonidagi  funksiyani  har  bir  tayinlangan  y   da    biror 

0

x

    olib 

0

( x , x )

 

oraliqda 

x  bo’yicha integrallaymiz: 

0

1

12

x

x

u( x, y )

(

x

y )dx

f ( y )









,                   

2

6

u( x, y )

x

xy

f ( y )







. 

Bunda 

2

0

0

1

6

f ( y )

x

x y

f ( y )







  va 

1

f ( y )   ixtiyoriy  funksiyalar.    Dastlab  berilgan 

2

1

6

u ( x, y )

x

xy





, 

2

2

2

6

6

u ( x, y )

x

xy

y







, 

2

1

6

1

u ( x, y )

x

xy

y





 

 

yechimlar 

2

6

u( x, y )

x

xy

f ( y )







 umumiy yechimda mos ravishda 

2

0

6

1

f ( y )

, f ( y )

y , f ( y )

y





 

 

kabi  tanlash  natijasida  hosil  bo’ladi.  Demak  ular  berilgan  tenglamaning  xususiy  yechimlari 

bo’ladi. Bu tenglama maxsus yechimlarga ega emas.  

Misol. 

12

1

xx

u

xy





  xususiy  hosilali  differensial  tenglamaning  umumiy  yechimini 

toping.  

Yechish.  Berilagan  tenglama 

u

u( x, y )



  funksiyaga  nisbatan  ikkinchi  tartibli    xususiy 

hosilali  chiziqli  differensial  tenglamadir.  Uning  yechimi  x   bo’yicha    ikki  marta  hosilasi 

12

1

f ( x, y )

xy





  funksiyaga  teng  bo’lishi  kerak.  Bunday  funksiyani  topish  uchun  har  bir 

tayinlangan  y  da 

12

1

y

f ( x )

f ( x )

xy







 funksiyadan 

x  bo’yicha  ikki marta aniqmas integral 

olamiz. Bir marta integrallash bilan quyidagi natijani olamiz:  

2

1

12

1

6

x

u

(

xy

)dx

x y

x

g ( y )







 



. 

Uni ikkinchi marta 

x  bo’yicha  integrallab, izlangan yechimni olamiz: 

2

3

2

1

1

2

1

6

2

2

u( x, y )

( x y

x

g ( y ))dx

x y

x

g ( y )x

g ( y )



 











. 

Bunda 

1

g     va 

2

g   lar  faqat  y   o’zgaruvchiga  bog’liq  bo’lgan  va  ikki  marta  uzluksiz 

differensiallanuvchi  ixtiyoriy  funksiyalardir.  Demak  berilgan  tenglamaning  yechimi  ikkita 

ixtiyoriy uzluksiz funksiyadan  bog’liq bo’lib,  

)

(

)

(

2

1

2

)

,

(

2

1

2

3

y

g

x

y

g

x

y

x

y

x

u









 

formula bilan aniqlanar ekan.  

Quyidagi  misollar  2-tartibli  xususiy  hosilali  chiziqli  differensial  tenglamalarni  ma’lum 

soddalashtirish natijasida umumiy yechimni topish jarayonida keng qo’llaniladi.