Оperatsiоn hisоb. Matematik fizika tenglamalari nazariyasi

Misol. 

2

6

xx

x

u

u

sin x

y







  xususiy  hosilali  differensial  tenglamaning  umumiy 

yechimini toping.  

Yechish.  Berilgan tenglamani quyidagi ko’rinishda tasvirlab olamiz:  

2

6

x

x

( u

u )

sin x

y







. 

Xuddi yuqorida berilgan misoldagi kabi bu tenglamani 

x  bo’yicha  integrallab, quyidagi 

tenglamaga kelamiz:  

1

2

6

6

x

u

u

( sin x

y )dx

cos x

xy

f ( y )







 







. 

Bunda 

1

f ( y )  ixtiyoriy uzluksiz funksiya. Endi  

)

(

cos

6

2

1

y

f

xy

x

u

u

x











 

 

 

tenglamani yechish maqsadida  

)

,

(

)

,

(

2

y

x

w

e

y

x

u

x





   

 

almashtirish  bajaramiz.  U  holda   

2

2

2

x

x

x

x

u

e

w e

w





 



  bo’lib,  tenglama  quyidagi  ko’rinishga 

keladi:  

2

2

2

1

2

2

6

x

x

x

x

e

w e

w

e

w

cos x

xy

f ( y )













 





. 

Bu tenglamaning ikkala tomonini  

2 x

e



 ga  bo’lingandan keyin unga teng kuchli bo’lgan 

tenglamani hosil qilamiz:  

2

2

2

1

6

x

x

x

x

w

e

cos x

xye

e f ( y )

 





. 

Bu  tenglama  xuddi  5-misoldagi  kabi  ko’rinishga  ega  bo’lib,  bir  marta 

x   bo’yicha  

integrallab 

w( x, y )

 ni topamiz:  

2

2

2

2

1

1

2

1

1

1

6

2

4

2

4

2

x

x

x

x

w

( e

cos x

xye

e f ( y ))dx

e

sin x

cos x

xy

y

f ( y )

f ( y )





































 

bunda 

1

f ( y )   va 

2

f ( y )   ikki  marta uzluksiz differensiallanuvchi  ixtiyoriy  funksiyalar. 

w( x, y )

 

ning  bu  ifodasini  formulaga  qo’yib,    dastlab  berilgan  differensial  tenglamaning  umumiy 

yechimiga ega bo’lamiz:  

2

1

2

1

1

1

2

4

2

4

2

x

u( x, y )

sin x

cos x

xy

y

f ( y ) e

f ( y )



 











. 

Misol.  

2

xy

x

u

u

f ( x )





, 

f

 - berilgan funksiya, xususiy hosilali tenglamaning umumiy 

yechimini toping.  

Yechish.  Ushbu tenglama ham xuddi oldingi misoldagi kabi yechiladi. Uni ham dastlab  

)

(

)

2

(

x

f

u

u

x

y





 

ko’rinishda yozib olamiz va   x  bo’yicha  integrallab, quyidagi tenglamaga kelamiz:  

1

2

y

u

u

f ( x )dx

g ( y )









. 

Ushbu  differensial tenglamani yechish maqsadida  

y

u( x, y )

e w( x, y )





 

almashtirish bajaramiz. U holda  

y

y

y

y

u

e w e w





 



 bo’lib, tenglama quyidagi sodda ko’rinishga 

keladi:  

1

y

y

y

w

e

f ( x )dx

e g ( y )







. 

Xuddi  oldingi  misollardagi  kabi  bu  tenglama  y   bo’yicha    integrallab 

w( x, y )

  ni 

topamiz: 





1

2

y

y

w( x, y )

e

f ( x )dx

e g ( y ) dy

g ( x )







 

. 

Bunda birinchi integralni bajarib quyidagi natijani olamiz 

1

2

y

y

w( x, y )

e

f ( x )dx

e g ( y )dy

g ( x )











, 

bu  formulada   

1

g   va 

2

g   lar  ikki  marta  uzluksiz  differensiallanuvchi  ixtiyoriy  ikki  funksiyalar.  

w( x, y )

  ning  bu  ifodasini  formulaga  qo’yib,  berilgan  differensial  tenglamaning  umumiy 

yechimiga ega bo’lamiz: 

1

2

y

y

y

u( x, y )

f ( x )dx

e

e g ( y )dy

e g ( x )















. 

Ushbu yechimni  quyidagicha tasvirlash qulaydir:  

3

2

y

u( x, y )

f ( x )dx

g ( y ) e g ( x )











. 

Bunda 

1

g   funksiya  ixtiyoriy  qiymat  qabul  qilganda 

3

1

y

y

g ( y )

e

e g ( y )dy







  funksiya 

ham ixtiyoriy qiymatlar qabul qiladi.   

Xulosa qilib aytganda, ikkinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli differensial tenglamaning 

yechimi mavjud bo’lganda ikkita ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lar ekan.