Определение коэффициента перетока в модели фильтрации уоррена-рута на основе решения обратной задаче холияров Эркин Чоршанбиевич

Постановка обратной задачи
Система уравнений фильтрации однородной жидкости в ТПС (4), называемой уравнениями Уоррена-Рута, записываем в виде
55\* MERGEFORMAT ()
Для решения системы уравнений (5) задается началные и граничные условия в виде
66\* MERGEFORMAT ()
77\* MERGEFORMAT ()
Задача (5), (6), (7) соответствует прямой постановке. Для решения обратной задачи по определению необходимо задать дополнительные условия, в качестве которых используем решение задачи (5), (6), (7) при известном в заданных точках области. Пусть такая информация дается в точке как решение , которого обозначим как .
Обратная задача ставится следующим образом: определить коэффициент перетока из условия минимума следующего функционала
88\* MERGEFORMAT ()
где – решение задачи (5) - (7) при заданном .
Решение обратной задачи
Условие стационарности функционала (8) запишется в виде
99\* MERGEFORMAT ()
где – функция чувствительности [14, 15] по коэффициенту .
Разложим в ряд функцию в окрестности с точностью до членов второго порядка [14]
1010\* MERGEFORMAT ()
где – -ое приблежение , , – приближения, соответствующие и .
Подставляем разложение (10) в соотношение (9) получим следующие соотношение:

из последнего выражения можно вычислить приближение , если функции и известны
1111\* MERGEFORMAT ()
Дифференцировав систему уравнений (5) по коэффициенту получим следующую систему уравнений
1212\* MERGEFORMAT ()
где – функции чувствительности [14, 15] по коэффициенту .
Начальные и граничные условия для системы уравнений (12) получаются из условий (6), (7) дифференцированием по :
1313\* MERGEFORMAT ()
1414\* MERGEFORMAT ()
Численный алгоритм определения коэффициента можно построить следующим образом:
1) Выбирая начальное приближение (полагая );
2) Решается задачу (5) - (7) от до и определяется функцию . Вычисляется значение функционала (8). После этого решается задачу (12) - (14) от до и определяется функцию ;
3) По формуле (11) вычисляется приближение ;
4) Повторяется этапы 2), 3) до выполнения условия

где – допустимые погрешности.
В рамках квазиреального эксперимента [16] сначала рассматривается прямая задача (5) - (7) с известным . Эта задача решается численно методом конечных разностей [17]. По результатам численных расчетов определяется сеточная функция Кроме того, при решении обратной задачи сеточная функция зашумляется случайными погрешностями [16] следующим образом:
1515\* MERGEFORMAT ()
где – случайная функция, равномерно распределенная на интервале , – уровень погрешности.
Для численного решения задачи (5) - (7) использованы следующие исходные значения параметров: с, м, м², МПа, МПас, МПа^-1, м/с. График представлен на рис.1.