Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали

Детерминанты малого порядка. Перестановки и подстановки

1. 
   Определителем второго порядка называется число равное разности произведений элементов главной и второй диагонали:
   

2. 
   Определителем третьего порядка называется следующее выражение:
   

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной в противоположого угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольноков, построенных относительно этой диагонали. Следующая схема демонстрирует это правило, называемое правилом треугольников. В схеме синим (слева) отмечены элементы, чьи произведения идут со знаком плюс, а зеленым (справа) - со знаком минус.   правило Саррюса

Определители любого порядка. Свойства определителей.

Сначала опишем основные свойства определителей относительно преобразования матриц. Знание этих свойств поможет упрошать вычисления и находить определители произвольного порядка.
Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).
Исходя из первого свойства, в остальных свойствах мы можем говорить только о строках, подразумевая, что эти свойства применими также и к столбцам.
Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
Свойство 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.
Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.
Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: a_ij=b_j+c_j, j = 1, ..., n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.
Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитеь равен нулю..
Свойство 9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.
Теорема (о разложении определителя по строке): определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Это означает, что определитель матрицы n×n равен  (алгебраическое дополнение A_ij=(-1)^i+jM_ij. Здесь минор M_ij - определитель получаемый из основного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца)
Теорема о разложении определителя по строке позволяет свести вычисление определителя матрицы n×n к вычичлению n определителей матриц (n-1)×(n-1). Таким образом, вычисление определителей с порядком выше третьего сводится к разложению на сумму определителей третьего порядка.
С помощью описанных выше свойств определителей можно провести предварительные преобразования матрицы, облегчающие дальнейшие вычисления. Например, если перед разложением определителя n-го порядка по какой-либо строке накопить в этой строке нули, то разложение приводит к меньшему количеству определителей порядка n-1. Ниже приводится пример, в котором сначала из первой строки вычитается вторая (при этом появляются два нуля), а затем идет разложение по первой строке (из-за двух нулей получается не четыре определителя третьего порядка, а только два): 
Теорема 5.2 (теорема аннулирования). Сумма, произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки) равна нулю.