Optimal kvadratur formulalar

Mundarija:

Kirish……………………………………………………………………………..3

Asosiy qism

1. 
   Optimal kvadratur formulalar………………………………………..4
   
2. 
   Gauss kvadratur formulasi………………………………………….12
   
3. 
   Meler kvadratur formulasi………………………………………….17
   

Xulosa…………………………………………………………………………..21
Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………………...22

Kirish.
Prezidentimiz 2017-yil 7-fevraldagi "O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida"gi farmonni imzoladi. Harakatlar strategiyasida ijtimoiy soha, xususan, ta’lim va ilm-fan sohalarini rivojlantirish, ta’lim tizimining uzluksizligini yanada takomillashtirish maqsadida sifatli ta’lim xizmatlari imkoniyatlarini oshirish, mehnat bozorining zamonaviy ehtiyojlariga mos yuqori malakali kadrlar tayyorlash siyosatini davom ettirish muhim vazifa etib belgilangan.
Kurs ishining asosiy maqsadi tenglamalar va ularning majmualarini chuqurroq tahlil qila bilish ya’ni tenglamalarni yechishni o’rganish bo’ldi.
Ushbu kurs ishi mundarija, kirish qismi, asosiy qism, xulosa qismi hamda adabiyotlar ro’yxatini o’z ichiga oladi. Asosiy qismda mavzu uchta rejaga bio’lib o’rganilgan. Xulosa qismida ishning mohiyati, undan olingan natija va xulosalar bayon etilgan.
Ma’lumki, tenglama tushunchasi matematikaning muhim tushunchasidan biri bo’lib u umumiy o’rta ta’lim maktablari matematika kursining mazmundor yo’nalishlaridan hisoblanadi va hozirgi kunda birinchi sinfdan boshlab o’rganiladi. Shuning uchun ham universitet va pedagogika institutlarining matematika yo’nalishlari talabalariga tenglama tushunchasi bilan bog’liq materiallarni puxta yetkazishga harakat qilinadi. Bu jarayon tenglama tushunchasi, tenglamaning yechimi(ildizi), tenglamaning aniqlanish sohasi, teng kuchli tenglama tushunchalarini mazmun-mohiyatini yoritishdan boshlanadi.

1. 
   Optimal kvadratur formulalar
   

Berilgan integralni u yoki bu kvadratur formula yordamida hisoblash paytida asosiy mehnat funksiyaning kvadratur formula tugunlaridagi qiymatlarini hisoblashga sarflanadi. Shunday ekan, integralni hisoblashda kerakli aniqlikka, imkon boricha kam mehnat sarflab erishishga intilish tabiiydir, boshqacha aytganda berilgan integralni tugunlari soni mumkin qadar kam bo’lgan formula bo’yicha hisoblash maqsadga muvofiqdir. Agar integrallanuvchi f(x) ni darajasi yuqori bo’lgan ko’phadlar bilan ham yaqinlashtirish mumkin bo’lsa, u holda olingan paragraflarda ko’rilgan algebraik darajasi eng yukori kvadratur formulalar yaxshi natija beradi. Lekin uncha silliq bo’lmagan funksiyalar uchun bu formulalar yaxshi natija bermaydi. Odatda bunday funksiyalar uchun aniqligi uncha katta bo’lmagan to’g’ri to’rtburchaklar, trapetsiyalar formulalari yaxshi natija beradi. Shuning uchun ham funksiyalarning muhim sinflari uchun shunday formulani topish kerakki, bu formula berilgan sinfning barcha funksiyalari uchun boshqa formulalarga nisbatan eng kichik qoldiqqa ega bo’lsin.
Aniqroq aytganda, masala quyidagicha qo’yiladi. Biror [a, b] oraliqda aniqlangan funksiyalar sinfi Н berilgan bo’lsin.
Butun Н sinfda

kvadratur formulaning qoldiq hadi deb

ifodaga aytiladi. Uning quyi chegarasi

qaralayotgan sinfda kvadratur formula xatosining optimal bahosi deyiladi.
Agar shunday kvadratur formula mavjud bo’lsaki, uning uchun
R_n(H) = W_n(H) tenglik bajarilsa, bunday formula qaralayotgan sinfda optimal yoki eng yaxshi formula deyiladi.
Ikkita sinf misolida optimal formula tuzishni ko’rib chiqamiz. Avval [0,1] oraliqda uzluksiz va birinchi hosilasi bo’lakli uzluksiz hamda |f '(x)| L tengsizlikni qanoatlantiruvchi С₁(L) funksiyalar sinfini qaraymiz.
Qaralayotgan

kvadratur formula f(x) = const uchun aniq bo’lishini, ya’ni
(1)

tenglik bajarilishini talab qilamiz. Aks holda f(x) = C uchun

bo’lib, barcha f(x) = const funksiyalar qaralayotgan sinfda yotadi va demak

Ko’rinib turibdiki, bunday kvadratur formulaning optimalligi haqida gap bo’lishi mumkin emas. Ravshanki, ni
(2)
ko’rinishda yozish mumkin va aksincha, f(x) ixtiyoriy son bo’lib, bo’lakli-uzluksiz va bo’lsa, u holda (2) tenglik funksiyani aniqlaydi. (1) - kvadratur formulaning f(x)= const uchun aniqligini hisobga olib, quyidagiga ega bo’lamiz:

bu yerda

Shunday qilib,

bu yerda K_n(t) funksiya R_n(t) qoldiqning yadrosi deyiladi va u quyidagiga teng:

Shuningdek

(3) dan ko’rinadiki K_n(t) yadro f(x) funksiyaga bog’liq bo’lmay, balki faqat kvadratur formulaning tugunlari х_к va koeffitsientlari А_к largagina bog’liqdir. K_n(t) ning grafigi bo’lakli-chiziqli bo’lib, х_к tugunlarda sakrashi А_к ga teng bo’lgan birinchi jins uzilishga ega.