Optimal kvadratur formulalar

3. Meler kvadratur formulasi.
Endi [-1, 1] oraliqda

vazn bilan kvadratur formula quraylik. [-1, 1] oraliqda (20) vazn bilan ortogonal bo`lgan ko`phad Т_п(х)=cosnarccosx Chebishev ko`phadlari ekanligi ma`lumdir. Buni tekshirish uchun

integralda almashtirish bajaramiz:

Ma`lumki,

va barcha k = 0,1,...,n - 1 uchun

Bulardan esa 1_m = 0 kelib chiqadi. Shunday qilib,

kvadratur formulaning tugunlari Т (х) = 0 tenglamaning

ildizlaridan iboratdir. Bu formulaning koeffisiyentlarini esa

ko`rinishda yozish mumkin. Bu integralni hisoblash uchun х = cos almashtirish (21)
bajaramiz.
Integral osti funksiyasining juftligi tufayli:

Integral ostidagi funksiya (n-1) - tartibli trigonometrik ko`phaddir. Biz 4-da bunday ko`phadni 2n nuqtali to`g`ri to`rtburchaklar formulasi aniqintegrallashini ko`rsatgan edik. (21) integralni hisoblash uchun to`g`ri to`rtburchaklar formulasida quyidagi nuqtalarni

olsak А_к ning aniq qiymatiga ega bo`lamiz. Ravshanki, integral ostidagi funksiya

ning nuqtadagi qiymati j k bo`lganda nolga teng bo`lib, j к bo`lganda ga teng. Bundan tashqari juft funksiya va shuning uchun ham . Demak,

Buni (21) ga qo`yib,

ni hosil qilamiz. Shunday qilib, biz quyidagi Meler kvadratur formulasiga ega bo`ldik:

Bu formula ba`zan Ermit formulasi ham deyiladi, bu formulani Ermit o`zining analiz kursiga kiritgan edi.
Bu formulaning qoldiq hadini qaraylik. Xatoliklar vektorini baholashdan ma`lumki, 4-da ko`rgan edikki,

Shuning uchun ham va

Quyidagiga ishonch hosil qilish qiyin emas:

Shunday qilib,



XULOSA
Men ushbu kurs ishini tayyorlash jarayonida dastlab shu mavzuga oid adabiyotlar, manbalar to’pladim. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan.
Kirish qismida yurtimizda matematika fani rivojiga qaratilayotgan e’tibor, fanni rivojlantirishning huquqiy me’yoriy hujjatlari haqidagi ma’lumotlardan iborat. Bundan tashqari tenglamalar va majmualari mavzusining ahamiyati va dolzarbligi yoritilgan. Bundan avvalroq ham, matematika fanini va ta’limini rivojlantirish bo’yicha “ Matematika ta’limi va fanlarini yanada rivojlantirish davlat tomonidan qo’llab-quvvatlash, shuningdek, O’zbekiston Respublikasi Fanlar akademiyasining V.I.Romonovskiy nomidagi matematika instituti faoliyatini tubdan takomillashtirish chora-tadbirlari to’g’risidagi “Prezident qarori qabul qilingan edi. Bularning bari mamlakatimizda ilm-fan, xususan matematika fanini rivojlantirishga qaratilayotgan e’tiborning nechog’lik muhim ahamiyat kasb etishini namoyon etadi.
So’nngi yillarda oliy ta’lim tizimida bu fan, ayniqsa, bu bo’limga ajratilgan soat birmuncha kamayib ketganligi sababli, bu nazariyani atroflicha va chuqur o’rganishning imkoniyati cheklanib qolmoqda. Garchi bu mavzuga oid yetarli materiallar turli xil adabiyotlarda turli darajada aks etgan holda bo’lsada, uni sistemali tarzda bir joyga joylashtirib o’ranishni talab darajasida deb bo’lmaydi. Yuqoridagilarni hisobga olib, kurs ishi mavzusini dolzarb mavzular qatoriga kiritish mumkin.