Optimallashtirish masalasi va uning matematik modeli

OPTIMALLASHTIRISH MASALASI VA UNING MATEMATIK MODELINING QO‘YILISHI
Optimallashtirish masalasini oddiy bir hol uchun ko‘rib chiqaylik. Oddiy matematik modelga ega, murakkab matematik formula ishlatilmaydigan formasini yetarlicha tavsiflash qiyin bo‘lgan idishni olaylik. Bu idish kuvshin (ko‘za) bo‘lmasa ham, uning formasini yetarlicha tavsiflash qiyin.
Aytaylik hajmi to‘g‘ri burchakli paralelopeped formaga ega bo‘lgan bakni loyihalashtirish kerak bo‘lsin. Bunda uning hajmini hisoblash formulasi quyidagicha bo‘ladi.
V=a·b·h (1)
bu yerda a, b, h –ning tamonlari.
Bu masalaning matematik modelini tuzish uchun masala qo‘yilishi tavsifini berish kerak: hajmi V=2000 ga teng bo‘lgan bak o‘lchamini aniqlash talab etilsin va bakni tayorlash uchun kam material ketsin, uning (sirti) yuzasi
S=2· [a·b+(a+b) ·h] (2)
Bunday masalaning matematik qo‘yilishi quyidagicha yoziladi.
F=S→min
V=2000 (3)
Bu yozuv V=2000 shart bilan S kattalikni minimallashtirish ma’nosini bildiradi. Oxirgi (3) formulani (1) va (2) larga asoslanib quyidagicha yozish mumkin.
F=2· [a·b+(a+b) ·h]→min
a·b·h=2000
Bu bog‘lanishlarga yana ko‘proq kompyuter uchun kerak bo‘lgan shartni qo‘shamiz. Bu shart to‘rtburchak tomonlari faqat musbat qiymatga ega bo‘lishligi shartidir, ya’ni
a, b, h>0.
U holda masalaning optimal yechimini izlashning quyidagi matematik modeliga ega bo‘lamiz:
MF (SF) F=2· [a·b+(a+b) ·h]→min
ChG (OGR) a·b·h=2000 (4)
ChSh (GRU) a, b, h>0
Bu model uchta asosiy tashkil etuvchilardan iborat: maqsad funksiyasi (MF); chegaralash (ChG); chegaraviy shart (ChSh).
Endi optimallashtirish masalasining matematik modelini umumiy holda ko‘rib chiqaylik. Buning uchun yana yuqoridagi keltirilgan misolni qaraymz. Unda quyidagi belgilashlarni kiritamiz x1=a, x2=b, x3=h. U holda (4) quyidagicha yoziladi.
F=2· [x1· x2+( x1+ x2) · x3]→min
x1· x2· x3=2000 (5)
x1, x2, x3>0
Yoki buni umumlashtirgan holda quyidagicha yozish mumkin.
F=f(x1,x2,x3)→min
g(x1,x2,x3)=B (6
x1, x2, x3>0
Bu (6) modelni yanada umumlashtirib yozadigan bo‘lsak, u quyidagi ko‘rinishni oladi.
F=f(xj)→min(max,Const)
gi(xj)Bi (7)
djxj Dj i=1,2,…,m; j=1,2,…,n
(7) model optimallashtirish masalasining umumlashgan matematik formasining yozilishidir.
Bu model formulalari ma’nolarini beramiz:
1) maqsad funksiyasi (MF) –optimallashtirish kriteriyasi bo‘lib masala yechimining optimalligini, ya’ni yaxshiligi ma’nosini ko‘rsatadi. Bunda maqsad funksiyasi 3 turga mo‘ljallangan bo‘lishi mumkin:

• maksimallashtirish;
• minimallashtirish;
• berilgan qiymatga mo‘ljallangan.

2) chegaralash (ChG) -o‘zgaruvchilar o‘rtasidaga bog‘lanishlarni o‘rnatadi. Ular bir taraflama yoki ikki taraflama bo‘lishi mumkin, masalan:

• gi(xj)Bi bir taraflama berilish;
• Aigi(xj)Bi ikki taraflama berilish.

3) chegaraviy shart (ChSh) -qiymati izlanayotgan o‘zgaruvchilarga chegaralashlarni qo‘yadi.
Masalaning barcha chegaralanishlar va chegaraviy shartlarni qanoat-lantiruvchi yechimlariga -mumkin bo‘lgan yechimlar to‘plami deyiladi.