Oraliq nazorat (Iqtisodchilar uchun matematika )

Ikkilаnish nаzаriyasining ikkinchi аsоsiy tеоrеmаsi

Bеrilgаn mаsаlаning jоiz yechimi X^*= (x₁^*, x₂^*,…, x_n^*) vа ikkilangan mаsаlаning jоiz yechimi Y^*= (y₁^*, y₂^*,…, y_n^*) оptimаl bo’lishi uchun quyidаgi shаrtlаrning bаjаrilishi zаrur vа yеtаrlidir.
Bu shаrtlаrni quyidаgichа tаlqin qilish mumkin: аgаr qo’shmа mаsаlаlаrdаn birining chеgаrаlоvchi shаrtlаri оptimаl yechimdа qаt’iy tеngsizlikkа аylаnsа, u hоldа ikkinchi mаsаlаning оptimаl yechimidаgi tеgishli o’zgаruvchi 0 gа tеng bo’lаdi; аgаr birinchi mаsаlа yechimidаgi nоmа’lum musbаt qiymаtgа egа bo’lsа, u hоldа ikkinchi mаsаlаdа tеgishli shаrtlаr оptimаl rеjаdа tеnglikkа аylаnаdi:
Bundаn ko’rinаdiki: оptimаl yechimning ikkilаngаn bаhоsi – rеsurslаr tаnqisligi dаrаjаsining o’lchоvidir. Mаhsulоt ishlаb chiqаrishdа to’lа ishlаtilаdigаn хоm аshyo «tаnqis (dеfisit) хоm аshyo» dеyilаdi. Bundаy хоm аshyoni оshirib sаrf qilish kоrхоnаdа mаhsulоt ishlаb chiqаrish dаrаjаsini оshirаdi. Mаhsulоt ishlаb chiqаrishdа to’lа ishlаtilmаydigаn хоm аshyo «nоtаnqis (kаmyob bo’lmаgаn) хоm аshyo» hisоblаnаdi. Bundаy хоm аshyolаrni ikkilаngаn bаhоsi nоlgа tеng bo’lаdi. Ulаrning miqdоrini оshirish ishlаb chiqаrish rеjаsini оshirishgа tа’sir qilmаydi.


2-savolni davomiga slayd tashiman shuni tagidan yozib ketasan o`shani

3. 
   6 ta detaldan iborat partiyada 4 ta standart detal’ bor. Tavakkaliga 3 ta detal’ olinadi. Olingan detallar ichidagi standart detallar sonidan iborat bo‘lgan X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping.
   

Javob: Ushbu misol parametri binomial distributsiya - Engil binomialni o'rganishda yordam beradi.

Bu distributsiyada, biror n marta (n ko'paytma) mustahkamlash amalini o'rganish uchun binomial distributsiya va uning tana funksiyalari foydalaniladi. Agar n ta standart boya bilan qoplangan loyiha uchun n parametri bo'lsa, distributsiya bu standart detallarni olish imkoniati bilan bog'liq funksiya sifatida jisimlab turiladi.

Binomial distributsiya funksiyasi quyidagicha ifodalaymiz:

P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

Bu yerda:

- P(X=k) standart detallarning k ta olingan detallari soniga ega bo'lishining ehtimoli
- C(n, k) standart detallarni olishning mo'ljallangan kombinatorika qiymati
- p standart detallarning olinish ehtimoli
- n standart detallarning umumiy soni
- k - olingan detallarning soni

Shunday qilib, agar 6 ta detaldan iborat partiyada 4 ta standart detall bor bo'lsa, unda distributsiyani funksiya qiymatlari standsrt detallarni olishining ehtimoli topiladi. Normalizatsiya bo'yicha funksiya qiymatlari yig'indisi 1 ga tengdir:

P(X=3) = C(6, 3) p^3 (1-p)^(6-3)

P(X=3) qiymatini topish uchun, n=6 va k=3 ni funktiyaga kiritamiz. Va shu erda, funksiya qiymatlarini hisoblaymiz.

4. 
   Ma’lum bir partiyada nostandart detallar 10 % ni tashkil etadi. Tavakkaliga 4 ta detal’ tanlab olinadi. Bu 4 ta detal’ orasida nostandart detallar sonidan iborat bo‘lgan X diskret tasodifiy miqdorning binomial taqsimot qonunini toping.
   

Javob: X detallarning soni va qo'llanilayotgan binomial distributsiya funksiyasi quyidagicha ifodalaydi:

P(X=k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

Bu yerda:

- P(X=k) - X detallarning k ta nostandart detallarni olingan ehtimoli
- C(n, k) - n elementli massiv berilgan tartiblashlari sonidan k elementli massiv tartiblashlari soni
- p - nostandart detallarni olishning ehtimoli (10% ni ifodalaydi, ya'ni 0.1)
- (1-p) - nostandart detallarni olishning ehtimoli (90% ni ifodalaydi, ya'ni 0.9)
- n - olinayotgan detallar soni (4)

Shuningdek, Agar 4 ta detal’ olinishi kerak bo'lsa, n=4 va k=4 ni funktiyaga kiritamiz.

P(X=4) = C(4, 4) 0.1^4 0.9^(4-4) = 1 0.1^4 0.9^0 = 0.1^4 = 0.0001

Shu bilan X miqdorining binomial distributsiya funksiyasini topdik.

5. 
   Tanlama chastotalarining empirik taqsimoti berilgan:
   

x_i -1 0 1 2
n_i 5 3 7 5
Nisbiy chastotalar empirik taqsimotini toping.
Javob: Nisbiy chastotalar, ya'ni ni / N va ularning yig'indisi sotib olingan barcha chiqrishlarni aks ettiradi, bu erda n ortiqcha miqdori bilan bo'lib, undagi n sonlar sonini ifodalab turadi.
Quyidagi formuladan foydalanib, nisbiy chastotalarni topamiz.

P(xi) = ni / N

Quyidagi nisbiy chastotalarni topamiz:

P(-1) = 5 / 20 = 0.25

P(0) = 3 / 20 = 0.15
P(1) = 7 / 20 = 0.35
P(2) = 5 / 20 = 0.25

Shunday qilib, nisbiy chastotalarni topdik:

P(-1) = 0.25
P(0) = 0.15
P(1) = 0.35
P(2) = 0.25