O’rin almashtirishlar va o’rniga qo’yishlar

19. Hisoblang:
.
20. i va k larning o’rniga qo’yish: a) juft; b) toq bo’ladigan qiymatlarini toping.
21. Agar siklning biror darajasi birga teng bo’lsa, u holda daraja ko’rsatgichini siklning uzunligiga bo’linishini isbotlang.
22. Birga teng bo’lgan o’rniga qo’yishlarning barcha darajalari ichida eng kichik ko’rsatgich o’rniga qo’yishning sikllarga yoyilmasidagi sikllarning uzunliklarining eng kichik umumiy karralisiga tengligini ko’rsating.
23. Agar bo’lsa, A¹⁰¹ ni toping.
24. Agar bo’lsa, Aⁿ ni toping.
25. Agar
, ,
bo’lsa, AXB = C tenglikdan X o’rniga qo’yishni toping.
26. O’rniga qo’yishni (,) transpozitsiyaga chapdan ko’paytirish shu o’rniga qo’yishning yuqori satrida  va  transpozitsiyani bajarishga, o’ngdan ko’paytirish esa quyi satrda  va  transpozitsiyani bajarishga teng kuchli ekanligini isbotlang.
27. Agar  va  lar o’rniga qo’yishning biror sikliga kirsa, u holda bu o’rniga qo’yishni (, ) transpozitsiyaga ko’paytirganda ( o’ngdan yoki chapdan) berilgan ikkita siklga ajraladi, agar  va  lar har xil sikllarga kirsa, u holda yuqorida aytilgan ko’paytirishda bu sikllar bittaga birlashadi. Shuni isbotlang.
28. Oldingi ikki masaladan foydalanib har qanday o’rniga qo’yishning inversiyalar soni va dekrementining juft-toqligi bir xildir.
29. Berilgan o’rniga qo’yish transpozitsiyalar ko’paytmasi ko’rinishida ifodalashda eng kam miqdordagi transpozitsiyalar soni o’rniga qo’yishning dekrementiga tengligini isbotlang.
30. 1, 2, 3, 4 sonlarining o’rniga qo’yishlari ichida o’rniga qo’yish bilan o’rin almashinuvchi bo’lgan o’rniga qo’yishlarni toping.
31. 1, 2, 3, 4, 5 larning o’rniga qo’yishlari ichida o’rniga qo’yish bilan o’rin almashinuvchi bo’ladiganini toping.
Determinantning ta’rifi va asosiy xossalari.
Determinantni satr yoki ustun bo’yicha yoyish

To’g’ri to’rtburchak ko’rinishidagi sonlar jadvaliga matritsa deyiladi.

Matritsani belgilashda qavslardan foydalanamiz, masalan,
.
Matritsani tashkil etuvchi sonlarni uning elementlari deyiladi. Matritsa elementlarining gorizontal qatoriga uning satrlari, vertikal qatoriga ustunlari deyiladi. Agar matritsadagi satrlar soni ustunlar soniga teng bo’lsa, undagi satrlar soni – matritsa tartibi deb ataladi. Umumiy ko’rinishda yozilganda matritsaning elementlari ikkita indeksli bitta harf orqali belgilanib, birinchi indeks satrning tartib raqamini (nomerini), ikkinchi indeks ustun tartib raqamini ifodalaydi. Masalan, n-tartibli A matritsaning umumiy ko’rinishi quyidagicha yoziladi:
.
Kvadrat matritsaning yuqori chap burchagini quyi o’ng burchagi bilan tutushtiruvchi kesmada yotuvchi elementlar qatori matritsaning bosh dioganali, yuqori o’ng burchagini quyi chap burchagi bilan tutashtiruvchi kesmadagi elementlar qatori yordamchi diagonali deyiladi.
n-tartibli determinant yoki n>1 da A matritsaning determinanti deb, shu matritsaning elementlaridan quyidagi formula yordamida hosil qilingan songa aytiladi:

Bunda birinchi to’rtta ifoda determinantning belgtlanishi; birinchi summa o’zaro teng bo’lmagan barcha

, (*)
o’rniga qo’yishlar bo’yicha olinib, bunda s – yuqori satrdagi inversiyalar soni, t – quyi satrdagi inversiyalar soni, ikkinchi summa barcha (k₁, k₂, ..., k_n) o’rin almashtirishlar bo’yicha olinib, k -bu o’rin almashtirishdagi inversiyalar soni. Bu ikki summa aynan tengdir. Summalardagi qo’shiluvchilar determinantning hadlari deyiladi; determinantning har bir hadi – matritsaning har bir satridan bittadan, har bir ustunidan bittadan olingan n ta elementlar ko’paytmasiga teng bo’lib, agar (*) o’rniga qo’yish juft bo’lsa, bu ko’paytma o’z ishorasi bilan, agar o’rniga qo’yish toq bo’lsa, teskari ishora bilan olinadi. Birinchi tartibli determinant o’zining yagona elementiga teng. n-tartibli determinantning barcha elementlari soni n! ga teng. A matritsaning elementlari, satrlari, ustunlari mos determinantning elementlari, satrlari, ustunlari deb ataladi.
1-m i s o l. Ikkinchi tartibli determinant:
.■
2-m i s o l. Uchinchi tartibli determinant:
■
Bu ifoda uchburchaklar qoidasi (Sarryus qoidasi) bo’yicha topiladi. Uni quyidagi jadvallar orqali tasvirlash mumkin bo’lib, bir xil ishora bilan bitta ko’paytmada ishtirok etuvchi elementlar kesmalar bilan birlashtirilib ko’rsatilgandir:

Matritsa (yoki determinantlar) ning barcha satrlarini mos ustunlar bilan almashtirishga transponirlash deyiladi. Demak, berilgan matritsaning satrlari transponirlangan matritsaning o’sha tartibda yozilgan ustunlaridan iborat, va aksincha.

Kvadrat matritsa (yoki determinant) bo’lgan holda transponirlash matritsani (yoki determinantni) bosh dioganal atrofida 180⁰ burishdan iborat bo’ladi.