O’rin almashtirishlar va o’rniga qo’yishlar

Yechish. Berilgan ko’paytmaning 7-tartibli determinantga plyus ishorasi bilan qatnashishi uchun ko’paytuvchilarning indekslaridan tuzilgan o’rniga qo’yish juft bo’lishi zarur. Bu o’rniga qo’yish i=6, k=2 bo’lganda juft bo’ladi. Darhaqiqat, o’rniga qo’yishning dekrementi 4 ga teng bo’lganligi sababli juftdir. ■
5-m i s o l. n tartibli determinantning birinchi ustunini oxiriga qo’yib, qolgan ustunlarni esa joylashish tartibini saqlagan holda chap tomonga siljitsak, determinant qanday o’zgaradi?
Yechish. Agar determinantda birinchi va ikkinchi ustunlarni, so’ng ikkinchi va uchinchi ustunlarni, va h.k. (n-1)-chi va n-chi ustunlar o’rinlarini almashtirib qo’ysak, natijada masala shartidagi almashtirishni hosil qilamiz. Hammasi bo’lib determinant ustunlarining (n-1) ta almashtirishini bajargan bo’lamiz. Demak, determinant (-1)^n-1 ga ko’paytirilgan bo’ladi. ■
6-m i s o l. Bosh dioganalga nisbatan simmetrik joylashgan elementlari qo’shma kompleks sonlardan iborat determinant haqiqiy sondan iboratligini ko’rsating.
Yechish. Faraz etaylik, determinant d = a + b_i bo’lsin. d da transpozitsiya bajarib, mos elementlari d determinantning elementlariga qo’shma bo’lgan d¹ determinantni hosil qilamiz. Determinant o’zining elementlari ko’paytmalarining (ma’lum ishoralar bilan olingan) yig’indisiga teng bo’lganligi sababli, va bir nechta kompleks sonlarning yig’indisi va ko’paytmasiga qo’shma bo’lgan kompleks sonlarning xossasiga ko’ra: d¹ = a - b_i bo’ladi. d = d¹ bo’lganligi sababli, a + b_i = a - b_i tenglik bajariladi.
Bundan b = 0 ni va d = a - haqiqiy son ekanligini ko’ramiz. ■
7-m i s o l. Bosh dioganalga nisbatan simmetrik joylashgan elementlari faqat ishora bilangina farq qilsa, ya’ni barcha i va k larda a_ik=-a_ki shart bajarilsa, u holda bunday determinant kososimmetrik deyiladi. Toq tartibli kososimmetrik determinant nolga teng bo’lishini ko’rsating.
Yechish. d determinantning har bir satridan (-1) ko’paytuvchini chiqarsak, transpozitsiyalashgan d ga teng bo’lgan determinantni hosil qilamiz, ya’ni d = (-1)ⁿ d . n toq bo’lganligi sababli d = 0 ni hosil qilamiz. ■
8-m i s o l. 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 41 ga bo’linadi.
determinant 41 ga bo’linishini isbotlang.
Yechish. Oxirgi ustunga 10000 ga ko’paytirilgan birinchi ustunni, 1000 ga ko’paytirilgan ikkinchi, 100 ga ko’paytirilgan uchinchi, 10 ga ko’paytirilgan to’rtinchi ustunni 41 soniga bo’linadigan 24026, 40262, 02624, 26240, 62402 sonlardan tuzilagan determinantni hosil qilamiz. Demak, berilgan determinant 41 ga bo’linadi. ■
n-tartibli (n2) d determinantning a_ij elementining M_ij minori deb, d determinantning a_ij elementi turgan satr va ustunni o’chirishdan keyin qolgan n-1 tartibli determinantga aytiladi.
a_ij elementning algebraik to’ldiruvchisi deb A_ij=(-1)^i+j M_ij ga aytiladi.
Agar determinantning biror satr (ustun) elementlarini ularning algebraik to’ldiruvchilariga ko’paytirib yig’sak, shu determinantga teng bo’ladi. Xususiy holda, agar satrda (yoki ustunda) bitta elementdan boshqa barchasi nolga teng bo’lsa, u holda determinant shu elementning uni algebraik to’ldiruvchisiga ko’paytmasiga teng bo’ladi. Masalan,

determinantda a₂₃ element minori

.
ga teng bo’lib, uning algebraik to’ldiruvchisi A₂₃ = -M₂₃.■
9-m i s o l. Determinantni uchinchi satr bo’yicha yoyib, hisoblang.
.
Yechish.
■
10-m i s o l. Determinantni yoymasdan quyidagi ayniyatni isbotlang.
.
Yechish. Chap tomondagi determinantning ikkinchi ustunini yz ga, uchinchi ustunini xz ga, to’rtinchi ustunini xy ga ko’paytirib, quyidagini hosil qilamiz:
.
Bu determinantning birinchi satridan xyz ni, ikkinchi satridan x ni, uchinchidan u ni, 4-dan z ni chiqarsak, o’ng tomondagi determinant hosil bo’ladi. ■
11-m i s o l. Determinant xossalaridan satr yoki ustun bo’yicha yoyishdan foydalanib, quyidagi ayniyatlarni isbotlang:

Yechish. Determinantni birinchi ustun bo’yicha yoysak, quyidagilar hosil bo’ladi:

■
M A S H Q L A R

32. Determinantlarni hisoblang:

    
    

; ; ; ; ; .

33. Determinantlarni hisoblang:

; ; ;
; ; ;

; ;
.
34. Determinantlarni yoymasdan turib, quyidagi ayniyatlarni isbotlang:
; ;
; .
35. Quyidagi ko’paytmalardan qaysi birlari mos tartibli determinantlar yoyilmasiga kiradi:

a) a₄₃ a₂₁ a₃₅ a₁₂ a₅₄; b) a₆₁ a₂₃ a₄₅ a₃₆ a₁₂ a₅₄;

c) a₁₂ a₂₃ a₃₄ ... a_{n-1, n} a_kk (1kn); d) a₁₂ a₂₃ ... a_{n-1, n} a_n1;
e) a₁₁ a_2,n a_3,n-1 ... a_n,2;
f) a₁₃ a₂₂ a₃₁ a₄₆ a₅₅ a₆₄ ... a_{3n-2, 3n} a_{3n-1, 3n-1}a_{3n, 3n-2}.
36. i va k ni shunday tanlangki, a₆₂ a_i5 a₃₃ a_k4 a₄₆ a₂₁ ko’paytma 6-tartibli determinantga minus ishorasi bilan qatnashsin.
37. determinantning x⁴ va x³ ni saqlovchi hadlarni toping.
, determinantning x⁴, x³ va x² ni saqlovchi hadlarni toping.
38. determinantni 4-ustun elementlari bo’yicha yoying;
determinantni 1-ustun elementlari bo’yicha yoying;
determinantni 3-satr elementlari bo’yicha yoying.