O`rta maxsus ta`lim vazirligi

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA
O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI


Buxoro davlat pedagogika instituti
Matematika va informatika
yo`nalishi 2MI-22IM guruh talabasi
Boqiyeva Habibaning
“Algebra sonlar nazariyasi” fani
“Laplas teoremasini isbotlash”
mavzusida tayyorlagan
MUSTAQIL ISHI


2023-yil
Mavzu:Laplas teoremasini isbotlash.

Reja;
1 Laplas teoremasi.
2 Laplas tenglamasi
3 Laplas teoremasini isbotlash.

Laplas teoremasi.
Teorema (Laplas teoremasi). Determinant qiymati uning biror satri (yoki ustun) elementlarini bu elementlarning mos algebraik toʻldiruvchilariga koʻpaytirilgan yigʻindisiga teng
.Laplas tenglamasi
Laplas tenglamasi shakl tenglamasi deyiladi.
Bu tenglama elliptik tipdagi tenglama deyiladi. Turli statsionar maydonlarning salohiyatini aniqlash bilan bog'liq muammolarda tez-tez uchraydi. Xususan, harorat maydonini, elektr potensialini, elastik kuchlanishlarni va deformatsiyalarni aniqlash masalasi Laplas tenglamasini echish bilan bog'liq. E'tibor bering, matematik fizikada giperbolik va parabolik tipdagi tenglamalar ham o'rganiladi.
Juda ko'p .. lar bor turli usullar elliptik tipdagi tenglamalar yechimlari. Ular orasida o'zgaruvchilarni ajratish usuli, manba funktsiyasi usuli, potentsial nazariya, analitik funktsiyalar usuli va boshqalar mavjud. Keling, maxsus usullardan foydalanish bilan bog'liq bo'lmagan bir nechta oddiy vazifalarni ko'rib chiqaylik.
Silindrsimon simmetriya. Silindrsimon simmetriyali funksiya uchun Laplas tenglamasining yechimini topamiz, ya'ni. qutb burchagi va z o'zgaruvchisidan mustaqil. Bunda silindrsimon koordinatalar sistemasida yozilgan Laplas tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi

Bu yerda qisman hosilalar jami bilan almashtiriladi. Bu tenglamadan kelib chiqadi

bu yerda va chegara shartlaridan topiladigan ixtiyoriy konstantalar.
sferik simmetriya. Sferik simmetriyali funksiya uchun Laplas tenglamasining yechimini topamiz, ya'ni. burchaklardan mustaqil va. Bunda sferik koordinatalar sistemasida yozilgan Laplas tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi

Bu tenglamaning yechimini topish qiyin emas

Keling, aniq misollar yordamida Puasson tenglamasining yechimini ko'rib chiqaylik.
Misol 1. Agar radiusli aylana ichida Puasson tenglamasining yechimini toping
Qaror. Kerakli funktsiya silindrsimon simmetriyaga ega, shuning uchun biz Puasson tenglamasini silindrsimon koordinatalar tizimida shaklda yozamiz.

Keling, bu tenglamani hal qilaylik
egri chiziqli gradient oqsoqlangan differentsial
doimiy va dan toping chegara holati va funksiyaning chegaralanganlik shartlari. Shuni hisobga olsak, olamiz. Biz olgan shartdan

Shuning uchun bizda yakuniy javob bor
Bu Helmgolts tenglamasining alohida holati. U uch o'lchovli (1), ikki o'lchovli (2), bir o'lchovli va n o'lchovli bo'shliqlarda ko'rib chiqilishi mumkin:

Operator Laplas operatori deb ataladi (Laplas operatori gradient va divergensiya amallarini ketma-ket qabul qilishga tengdir.).