O`rta maxsus ta`lim vazirligi

Laplas operatori
Laplas operatori ifoda bilan aniqlanadi
Dekart koordinata tizimida esa formula bilan tavsiflanadi

Egri chiziqli ortogonal koordinatalar sistemasida Laplas operatorining ifodasini topamiz. Buning uchun gradient va divergensiyani egri chiziqli koordinatalar sistemasiga yozamiz

Ushbu ifodalarni Laplas operatoriga almashtirib, biz hosil qilamiz
Misol 1. Silindrsimon koordinatalar sistemasidagi Laplas operatorining ifodasini toping.

Izoh 1. Qutb koordinata tizimidagi Laplas operatori formula bilan aniqlanadi

2-misol. Sferik koordinatalar sistemasidagi Laplas operatorining ifodasini toping.
Qaror. Cho'loq koeffitsientlarining qiymatlarini almashtirib, biz olamiz

Laplas tenglamasining yechimi

Laplas tenglamasining yechimlari garmonik funksiyalardir.
Laplas tenglamasi elliptik tenglamalarga tegishli. Bir jinsli bo'lmagan Laplas tenglamasi Puasson tenglamasiga aylanadi.
Chegaralangan G sohasidagi Laplas tenglamasining har bir yechimi G sohasi chegarasidagi yechimning (yoki uning hosilalarining) xatti-harakatiga qo‘yilgan chegara shartlari bilan o‘ziga xos tarzda ajralib turadi. Agar yechim butun fazoda izlansa, chegara shartlari f as uchun ba'zi asimptotiklarni belgilashga qisqartiriladi. Bunday yechimlarni topish masalasi chegaraviy masala deb ataladi. Eng keng tarqalgani f funktsiyaning qiymati chegarada berilganda Dirichle muammosi va f ning qiymati chegaraning normal bo'ylab berilgan Neman muammosi.

Laplas operatorining yana bir ta'rifi

Laplas operatori bir o'zgaruvchining funksiyasining odatiy ikkinchi hosilasining bir nechta o'zgaruvchilari funksiyalarini tabiiy umumlashtirishdir. Haqiqatan ham, agar funktsiya nuqtaga yaqin joyda joylashgan uzluksiz ikkinchi hosila (x), keyin, Teylor formulasidan quyidagicha
(x_0)+o(r^2), da , (x_0)+o(r^2), da 
ikkinchi hosila chegara hisoblanadi
(x_0)=\lim\limits_(r \to 0) \frac(2)(r^2) \left\( \frac(f(x_0+r)+f(x_0-r))(2)-f (x_0)\o'ng\).
Agar funktsiyaga o'tish dan o'zgaruvchilar, xuddi shunday qiling, ya'ni berilgan nuqta uchun o'ylab ko'ring -o'lchovli sharsimon qo'shnichilik radius va o'rtacha arifmetik o'rtasidagi farq
funktsiyalari chegarada chegara maydoni bo'lgan bunday mahalla va ma'nosi bu hududning markazida , u holda funksiyaning ikkinchi qisman hosilalari uzluksizligida nuqtaga yaqin joyda Laplas qiymati bu nuqtada chegara bor
Funktsiyaning Laplas operatori uchun oldingi taqdimot bilan bir vaqtda , uzluksiz ikkinchi hosilalarga ega, formula
qayerda - mahallaning hajmi 
Bu formula funktsiyaning Laplasian va uning ma'lum nuqta qo'shniligidagi o'rtacha hajm o'rtasidagi to'g'ridan-to'g'ri munosabatni ifodalaydi.
Ushbu formulalarning isbotini, masalan, topish mumkin.
Yuqoridagi chegaralar, ular mavjud bo'lgan barcha holatlarda, funktsiyaning Laplas operatorining ta'rifi bo'lib xizmat qilishi mumkin Ushbu ta'rif ko'rib chiqilayotgan funktsiyalarning ikkinchi hosilalari mavjudligini nazarda tutuvchi Laplasning odatiy ta'rifidan afzalroqdir va bu hosilalarning uzluksizligi holatida odatiy ta'rifga to'g'ri keladi.