O`rta maxsus ta`lim vazirligi

O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA
O`RTA MAXSUS TA`LIM VAZIRLIGI


Buxoro davlat pedagogika instituti
Matematika va informatika
yo`nalishi 2MI-22IM guruh talabasi
Kemjayeva Mohinurning
“Algebra sonlar nazariyasi” fani
“Kopleks sonning modulining xossalari”
mavzusida tayyorlagan
MUSTAQIL ISHI


2023-yil
Mavzu: Boʻsh boʻlmagan toʻplamni boʻlaklarga boʻlish. Ekvivalentlik sinfi. Faktor toʻplam .

Reja:

1. 
   Toʻplam xususiyatlari.
   
2. 
   Toʻplamning belgilanishi.
   
3. 
   Ekvivalentlik munosabatlar.
   
4. 
   Faktor toʻplam.
   

X to‘plamdagi qisman tartib munosabati antisimmetrik, refleksiv va o‘tish xususiyatiga ega bo‘lgan ikkilik munosabat bo‘lib, quyidagicha belgilanadi.

Juft sifatida:
Ikkilik munosabat refleksiv va simmetrik bo’lsa, tolerantlik deyiladi.
Ikkilik munosabat, agar u qaytarilmaydigan, antisimmetrik va o’tishli (oldindan tartib) bo’lsa, kvazitartib deb ataladi.
Ikkilik munosabat refleksiv va tranzitiv bo’lsa, qat’iy tartib deyiladi.
M to‘plamdagi enar algebraik amal funksiyadir

• 
  Unar operatsiya;
  
• 
  Binar operatsiya;ʼʼ
  
• 
  Triary operatsiya.
  

Ikkilik algebraik operatsiya –

• 
  M to‘plamdan har bir tartiblangan juftlikka M to‘plamning qaysidir elementini tayinlaydigan amal.
  

Xususiyatlari:

1. 
   O’zgaruvchanlik:
   
2. 
   Assotsiativlik:
   

Neytral element
Ikkilik algebraik amal uchun M ni o’rnatadi
Element deyiladi:
Faktor ko’pchilik Buning ekvivalentlik sinflari to’plami ko’pchilik... Qisman buyurtma yoqilgan ko’pchilik x ikkilik munosabat deyiladi ..
Keyingi savol.” Faktor ko’pchilik. Faktor ko’pchilik- agregat. Multiplikativ va qo’shimchali shakllar.
Faktor ko’pchilik- agregat.
Kopgina- bir butun sifatida tasavvur qilinadigan aniq va turli xil ob’ektlar to’plami.
Multiplikativ funktsiya – va ... batafsilroq. Faktor ko’pchilik. Faktor ko’pchilik Buning ekvivalentlik sinflari to’plami ko’pchilik.
Haqiqatda ishlab chiqarish jarayoni murakkabroq bo’lib, uning mahsuloti foydalanish natijasidir ko’pchilik omillar.
Boshqaruv qarorlarining sifati quyidagilarga bog’liq ko’pchilik omillar, eng muhimi n bo’lishi mumkin.
Kapitalni jalb qilish bo’yicha qarorlarni optimallashtirish tadqiqot jarayonidir ko’pchilik omillar kutilgan natijalarga ta’sir qiladi ...
To’plam nazariyasi. Asosiy tushunchalar
To’plamlar nazariyasi zamonaviy matematikaning asosiy ta’rifidir. U 1860-yillarda Georg Kantor tomonidan yaratilgan. U shunday deb yozgan edi: “Ko’pchilik juda ko’p, umuman olganda tasavvur qilish mumkin”. To’plam tushunchasi matematikaning asosiy, aniqlanmagan tushunchalariga kiradi. Bu boshqa, oddiyroq tushunchalarga tushmaydi. Shuning uchun uni aniqlab bo’lmaydi, faqat tushuntirish mumkin. Shunday qilib, to’plam – bu bizning sezgi yoki fikrimiz bilan aniq ajralib turadigan bir butun ob’ektlarga birlashishi; umumiy xususiyat bilan belgilangan ba’zi ob’ektlar to’plami.
Masalan,

1. 
   Voronejning ko’plab aholisi
   
2. 
   Tekislik nuqtalari to’plami
   
3. 
   Natural sonlar toʻplami ℕ va boshqalar.
   

To’plamlar odatda bosh lotin harflari bilan belgilanadi ( A, B, C va hokazo.). Berilgan to’plamni tashkil etuvchi ob’ektlar uning elementlari deyiladi. To’plam elementlari kichik lotin harflari bilan belgilanadi ( a, b, c va hokazo.). Agar NS- o’rnating, keyin yozib oling x∈X shuni anglatadiki NS to‘plamning elementi hisoblanadi NS yoki nima NS to‘plamga tegishli NS va kirish x∉X bu element NS to’plamga tegishli emas NS... Masalan, natural sonlar to‘plami ℕ bo‘lsin. Keyin 5 ℕ , a 0,5∉ℕ .
Agar to’plam Y to’plam elementlaridan iborat NS keyin shunday deyishadi Y to‘plamning kichik to‘plamidir NS va belgilang Y⊂X(yoki Y⊆X). Masalan, butun sonlar to’plami ℤ ratsional sonlar to‘plamidir ℚ .
Agar ikkita to’plam uchun NS va Y ikkita inklyuziya bir vaqtning o’zida sodir bo’ladi X Y va Y X, ya’ni. NS to‘plamning kichik to‘plamidir Y va Y to‘plamning kichik to‘plamidir NS, keyin to’plamlar NS va Y bir xil elementlardan iborat. Bunday to’plamlar NS va Y teng deb ataladi va yozing: X = Y. Bo’sh to’plam atamasi tez-tez ishlatiladi – Ø – hech qanday elementni o’z ichiga olmaydigan to’plam. Bu har qanday to’plamning kichik to’plamidir.
To’plamlarni tavsiflash uchun quyidagi usullardan foydalanish mumkin.
To’plamlarni aniqlash usullari

1. 
   Ob’ektlarni sanab o’tish. Faqat chekli to’plamlar uchun ishlatiladi.
   

Masalan, X = (x1, x2, x3 ... x n)... Belgisi Y ={1, 4, 7, 5} to‘plam to‘rtta sondan iborat ekanligini bildiradi 1, 4, 7, 5 .

2. 
   To`plam elementlarining xarakterli xususiyatini ko`rsatish.
   

Buning uchun ma’lum bir xususiyat o’rnatiladi R, bu elementning to‘plamga tegishliligini aniqlash imkonini beradi. Bu usul ko’proq ko’p qirrali.
X = (x: P (x))
(kopgina NS shunday elementlardan iborat NS buning uchun mulk qanoatlantiriladi P (x)).
Bo’sh to’plamni uning xususiyatlarini ko’rsatish orqali aniqlash mumkin: Ø = (x: x ≠ x)
To’plamlar ustidagi amallardan foydalanib, allaqachon berilganlardan foydalanib, yangi to’plamlarni qurish mumkin.
Operatsiyalarni sozlash

1. 
   Birlashma (sum) – har biri kamida bitta to’plamga tegishli bo’lgan barcha elementlardan iborat to’plamdir. A yoki V.
   

A∪ B = (x: x A yoki x B).

2. 
   Kesishma (mahsulot) har biri bir vaqtning o’zida to’plamga tegishli bo’lgan barcha elementlardan iborat to’plamdir. A va ko’p V.
   

A
∩B = (x: x A va x B).

3. 
   To‘plamlarning farqi A va V to’plamga tegishli barcha elementlardan iborat to’plam deyiladi A va to’plamga tegishli emas V.
   

A \ B = (x: x A va x B)

4. 
   Agar A Toʻplamning kichik toʻplami V... O’sha ko’pchilik B \ A to‘plamning to‘ldiruvchisi deyiladi A ko’pchilikka V va belgilang A’.
   

5. 
   Ikki to’plamning simmetrik farqi to’plamdir A∆V = (A \ V) (B \ A)
   
   

Ekvivalentlik munosabatlari. Faktorlar to’plami
Ushbu to’plam uchun siz ba’zi kichik to’plamlar to’plamini hisobga olgan holda yangi to’plamlarni qurishingiz mumkin. Bunday holda, odatda, bir qator kichik to’plamlar haqida emas, balki oila yoki kichik to’plamlar sinfi haqida gapiriladi.
Bir qator savollarda berilgan to’plamning bunday kichik to’plamlari sinfi ko’rib chiqiladi. A kesishmaydigan va birlashishi mos keladigan A... Berilgan to’plam bo’lsa A uning juft ajratilgan kichik to’plamlari birlashmasi sifatida ifodalanishi mumkin, keyin aytish odatiy holdir. A sinflarga bo’lingan. Sinflarga bo’linish qandaydir xususiyat asosida amalga oshiriladi.
Bo’lsin NS Bo’sh to’plam emas, keyin har qanday kichik to’plam R ishdan NS NS to’plamdagi ikkilik munosabat deyiladi NS... Agar er-xotin bo’lsa (x, y) tarkibiga kiradi R, x elementi munosabatda deyiladi R bilan da.
Masalan, munosabatlar x = y, x≥y to’plamdagi ikkilik munosabatlardir ℝ.
Ikkilik munosabat R to’plamda NS Ekvivalentiki munosabati deyiladi, agar:

1. 
   (x, x) R; NS X (reflektorlik xususiyati)
   
2. 
   (x, y) R => (y, x) R (simmetriya xususiyati)
   
3. 
   (x, y) R, (y, z) R, keyin (x, z) R (o’tish xususiyati)
   

1.Let ℤ - butun sonlar to’plami; m≥1- butun son. Ekvivalentlik munosabatini aniqlaylik R yoqilgan ℤ Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida n ~ k, agar n-k tomonidan bo’linadi m... Keling, berilgan munosabat bo’yicha xususiyatlar bajarilganligini tekshiramiz.

1. 
   Reflektorlik.
   

Har kim uchun n∈ℤ ℤ shu kabi (p, p) ∈R
p-p = 0... Chunki 0∈ ℤ , keyin (p, p) ∈ℤ.

2. 
   Simmetriya.
   

Kimdan (n, k) ∈R shundan kelib chiqadiki, shunday bo’ladi p∈ ℤ, nima n-k = mp;
k-n = m (-p), -p∈ ℤ, shuning uchun (k, n) ∈R.

3. 
   Tranzitivlik.
   

Bundan (n, k) ∈R, (k, q) ∈R shundan kelib chiqadiki, bundaylar bor p 1 va r 2 ∈ ℤ, nima n-k = mp 1 va k-q = mp 2... Ushbu iboralarni qo’shib, biz buni olamiz n-q = m (p 1 + p 2), p 1 + p 2 = p, p∈ ℤ... Shunung uchun (n, q) ∈ ℤ.
Ekvivalentlik munosabati. Faktor to’plami
A to’plamdagi R ikkilik munosabat, agar R refleksiv, simmetrik va o’tishli bo’lsa, ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Raqamlar to’plamidagi tenglik munosabati ko’rsatilgan xususiyatlarga ega, shuning uchun u ekvivalentlik munosabati hisoblanadi.
Uchburchakning o’xshashlik munosabati ekvivalentlik munosabati ekanligi aniq.
Haqiqiy sonlar to’plamidagi qat’iy bo’lmagan tengsizlik (≤) munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lmaydi, chunki u simmetrik emas: 3≤ 5 dan 5≤ 3 ga mos kelmaydi.
Berilgan R ekvivalentlik munosabati uchun a elementi tomonidan yaratilgan ekvivalentlik klassi (qo‘shnilik klassi) R va a o‘rtasidagi munosabatda bo‘lgan x A ning kichik to‘plamidir. Ko’rsatilgan ekvivalentlik klassi [a] R bilan belgilanadi, shuning uchun bizda:
[a] R = (x A: a, x R).
Keling, bir misolni ko’rib chiqaylik. Uchburchaklar to’plamiga o’xshashlik munosabati kiritiladi. Barcha teng tomonli uchburchaklar bitta kosetga tushishi aniq, chunki ularning har biri, masalan, barcha tomonlari uzunligi birlik bo’lgan uchburchakka o’xshashdir.
1.6 teorema. A to’plamda R ekvivalent munosabat bo’lsin va [a] R koset, ya’ni, [a] R = (x A: a, x R), keyin:

1. 
   Har qanday A uchun: [a] R ≠, xususan, a [a] R;
   
2. 
   Turli qo’shni sinflar bir-biriga mos kelmaydi;
   
3. 
   Barcha kosetlarning birlashuvi butun A to’plamiga to’g’ri keladi;
   
4. 
   Turli kosetlar toʻplami A toʻplamining bir qismini tashkil qiladi.
   

Isbot. 1) R refleksli bo’lgani uchun biz har qanday a, A uchun a, R, demak, [a] R va [a] R ≠ ga ega bo’lishini olamiz;

3. 
   Faraz qilaylik, [a] R ∩ [b] R ≠, ya’ni, A va c [a] R ∩ [b] R dan c element mavjud. Keyin (cRa) & (cRb) dan R simmetriyasi tufayli (aRc) & (cRb) ni olamiz va R ning tranzitivligidan aRb ga ega bo’lamiz.
   

Har qanday x [a] R uchun bizda: (xRa) & (aRb), keyin R ning tranzitivligi tufayli biz hRb ni olamiz, ya’ni. X [b] R, shuning uchun [a] R [b] R. Xuddi shunday, har qanday y, y [b] R uchun bizda quyidagilar mavjud: (yRb) & (aRb) va R simmetriyasi tufayli biz (yRb) & (bR a) ni olamiz, keyin esa, R ning tranzitivligi, biz yR a ni olamiz, ya’ni. Y [a] R va
Shuning uchun [b] R [a] R. [a] R [b] R va [b] R [a] R dan biz [a] R = [b] R ni olamiz, ya’ni agar kosetlar kesishsa, u holda ular mos tushadi;

4. 
   Ixtiyoriy a va A uchun, isbotlanganidek, bizda [a] R ga ega bo‘lsa, barcha kosetlarning birlashuvi A to‘plamga to‘g‘ri kelishi aniq bo‘ladi.
   

1.6-teoremaning 4) tasdiqi 1) -3) dan kelib chiqadi. Teorema isbotlangan. Quyidagi teoremani isbotlash mumkin.
1.7 teorema. A to’plamdagi turli ekvivalentlik munosabatlari A ning turli bo’limlarini hosil qiladi.
1.8 teorema. A to’plamining har bir bo’limi A to’plamda ekvivalentlik munosabatini hosil qiladi va turli bo’limlar turli xil ekvivalentlik munosabatlarini hosil qiladi.
Isbot. A to’plamning B = (B i) bo’limi berilgan bo’lsin. R munosabatini aniqlaymiz: a, b R, agar va faqat B i mavjud bo’lganda, a va b ikkalasi ham shu B i ga tegishli bo’lsin. Shubhasiz, kiritilgan munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitivdir, shuning uchun R ekvivalent munosabatdir. Ko’rsatish mumkinki, agar bo’limlar har xil bo’lsa, ular tomonidan yaratilgan ekvivalentlik munosabatlari ham har xil bo’ladi.
Berilgan ekvivalentlik munosabati R bo’yicha A to’plamning barcha kosetlari yig’indisi bo’limlar to’plami deb ataladi va A / R bilan belgilanadi. Faktorlar to’plamining elementlari kosetlardir. Qo’shni sinf [a] R, siz bilganingizdek, R munosabatida o’zaro bog’liq bo’lgan A elementlaridan iborat.
Z = (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…) butun sonlar toʻplamidagi ekvivalentlik munosabatiga misol keltiring.
Ikki tamsayı a va b, agar m bo’luvchi bo’lsa, taqqoslanadigan (kongruent) modul m deyiladi. A-b raqamlari, ya’ni bizda mavjud bo’lsa:
A = b + km, k =…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….
Bunday holda, a≡ b (mod m) yozing.
1.9 teorema. Har qanday a, b, c va m> 0 raqamlari uchun bizda:

1. 
   A ≡ a (mod m);
   
2. 
   Agar a ≡ b (mod m), u holda b ≡ a (mod m);
   
3. 
   A ≡ b (mod m) va b ≡ c (mod m) bo’lsa, a ≡ c (mod m).
   

Isbot. 1) va 2) tasdiqlar aniq. 3 ni isbotlaymiz). A = b + k 1 m, b = c + k 2 m, keyin a = c + (k 1 + k 2) m, ya’ni. A ≡ c (mod m). Teorema isbotlangan.
Shunday qilib, solishtirish moduli m munosabati ekvivalentlik munosabati bo’lib, butun sonlar to’plamini sonlarning ajratilgan sinflariga ajratadi.
Keling, cheksiz ochiladigan spiral quraylik, bu rasmda. 1.13 qat’iy
Chiziq va cheksiz burilishli spiral, kesilgan chiziq sifatida ko’rsatilgan. M manfiy bo’lmagan butun son berilsin. Biz barcha butun sonlarni (Z to’plamining elementlarini) rasmda ko’rsatilganidek, bu spirallarning m nurlar bilan kesishgan nuqtalariga joylashtiramiz. 1.13.
Taqqoslash moduli m munosabati uchun (xususan, m = 8 uchun) ekvivalentlik sinfi nurda yotgan raqamlardir. Shubhasiz, har bir raqam bitta va faqat bitta sinfga to’g’ri keladi. Buni m = 8 uchun olishingiz mumkin, bizda:
Taqqoslash moduli m bo’yicha Z to’plamning omillar to’plami Z / m yoki Z m sifatida belgilanadi. Ko’rib chiqilayotgan ish uchun m = 8
Z / 8 = Z8 = (,,,…,) ni olamiz.
1.10 teorema. Har qanday a, b, a *, b *, k va m butun sonlar uchun:

1. 
   Agar a ≡ b (mod m), u holda ka ≡ kb (mod m);
   
2. 
   Agar a ≡ b (mod m) va a * ≡ b * (mod m) bo‘lsa, u holda:
   
   1. 
      A + a * ≡ b + b * (mod m); b) aa * ≡ bb * (mod m).
      

Biz 2b ishi uchun dalil keltiramiz). Ayrim s va t butun sonlar uchun a ≡ b (mod m) va a * ≡ b * (mod m), keyin a = b + sm va a * = b * + tm bo’lsin. Ko’paytirish,
Olamiz: aa * = bb * + btm + b * sm + stm2 = bb * + (bt + b * s + stm) m. Demak,
Aa * ≡ bb * (mod m).
Shunday qilib, taqqoslash moduli atama bo’yicha qo’shilishi va ko’paytirilishi mumkin, ya’ni. Tenglik bilan bir xil tarzda ishlaydi. Masalan,q
Agar munosabat R quyidagi xususiyatlarga ega: refleksiv simmetrik tranzitiv, ya’ni. To‘plamdagi ekvivalentlik munosabati (~ yoki ≡ yoki E). M , u holda ekvivalentlik sinflari to’plami to’plamning omillar to’plami deb ataladi M ekvivalentlik haqida R va belgilandi JANOB
To’plam elementlarining kichik to’plami mavjud M ekvivalent x chaqirdi ekvivalentlik klassi.
Ko’rsatkichlar to’plamining ta’rifidan kelib chiqadiki, u mantiqiy to’plamning kichik to’plamidir: .
Funktsiya chaqiriladi aniqlash va quyidagicha aniqlanadi:
Teorema. Faktor algebrasi F n / ~ mantiqiy funktsiyalar algebrasi uchun izomorf B n isbot.
Izlangan izomorfizm ξ : F n / ~ → B n quyidagi qoida bilan aniqlanadi: ekvivalentlik sinfi ~(φ) funksiya mos keladi f ph , to’plamdan ixtiyoriy formulaning haqiqat jadvaliga ega bo’lish ~(φ) ... Turli xil haqiqat jadvallari har xil ekvivalentlik sinflariga mos kelganligi sababli, xaritalash ξ in’ektsion bo’lib, chunki har qanday mantiqiy funktsiya uchun f dan Karvonsaroy funksiyani ifodalovchi formula mavjud f, xaritalash ξ sur’ektiv. Operatsiyalarni saqlash, ko’rsatilganda 0, 1 ξ bevosita tekshiriladi. CHTD.
Doimiy bo’lmagan har bir funktsiyaning funksional to’liqligi haqidagi teorema bo’yicha 0 , ba’zi bir SDNF mos keladi ψ sinfga tegishli ~ (ph) = p -1 (f) funktsiyani ifodalovchi formulalar f ... Muammo sinfda bo’lishdan kelib chiqadi ~(φ) eng oddiy tuzilishga ega bo’lgan disjunktiv normal shakl.

Qo’shimcha adabiyotlar

Mirziyoev SH.M. Buyuk kelajagimizni mard va olijanob xalqimiz bilan birga quramiz. – Toshkent: “O’zbekiston”, 2017. – 488 b.
Hojiev J.X. Faynleyb A.S. Algebra va sonlar nazariyasi kursi, Toshkent, «O’zbekiston», 2001y.
Yunusova D., Yunusov A. Algebra va sonlar nazariyasi. Modul texnologiyasi asosida tuzilgan musol va mashqlar toʻplami. Oʻquv qoʻllanma. T., “Ilm Ziyo”. 2009.
Yunusov A., Yunusova D. Algebra va sonlar nazariyasidan modul texnologiyasi asosida tuzilgan nazorat topshiriqlari to’plami. TDPU, 2004.
Axborot manbaalari
www.gov.uz – O’zbekiston Respublikasi xukumat portali.
www.lex.uz – O’zbekiston Respublikasi Qonun hujjatlari ma’lumotlari milliy bazasi.
www.pedagog.uz
www.edu.uz
www.nadlib.uz (A.Navoiy nomidagi O’z.MK)
http://ziyonet.uz — Ziyonet axborot-taolim resurslari portal