O‘rtacha miqdorlar, moda va mediana mavzuning asosiy mazmuni va namunaviy misollar

Echimi: birinchi va ikki ustun ma’lumotlaridan foydalangan holda ikkala korxona bo‘yicha bir ishchiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha ish haqi oddiy arifmetik o‘rtacha yordamida aniqlanadi, ya’ni ikkala korxonadagi jami ish haqi fondi miqdori hamma ishchilar soniga bo‘linadi: . Ikkala korxona bo‘yicha bir ishchiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha ish haqi miqdori 1020 ming so‘mni tashkil qiladi.

Agar to‘plamda belgining alohida variatlari va ularning vaznlari mavjud bo‘lsa holda o‘rtacha miqdor arifmetik tortilgan formula yordamida aniqlanadi. YUqorida keltirilgan jadvalning ikkinchi va uchinchi ustun ma’lumotlaridan foydalanib bir ishchiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha ish haqi miqdorini aniqlaymiz. , yoki ikkinchi ustun ma’lumotlari to‘rtinchi ustundagi shaklda berilgan ham bir xil formula qo‘llaniladi . Demak, bir ishchiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha ish haqi miqdori 1020 ming so‘mga teng.

Ayrim hollarda o‘rtacha miqdorlar oraliq qatorlar asosida hisoblanishi mumkin. Bunda har bir oraliq guruh bo‘yicha o‘rtachani, keyin jami qatorlar bo‘yicha umumiy o‘rtachani hisoblash lozim. Dastlab har bir guruhdagi o‘rtacha miqdorni aniqlab olamiz va so‘ngra korxonalarda o‘rtacha ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorini o‘rtacha arifmetik tortilgan formula yordamida hisoblaymiz (3-jadval).

3-jadval

Korxonalar tomonidan mahsulot ishlab chiqarishning guruhlanish natijalari

Ishlab chiqarilgan mahsulot bo‘yicha guruhlanish	Korxonalar	Oraliqlar o‘rtachasi
24,6-49,1	4	36,85	147,4
49,1-73,6	6	61,35	368,1
73,6-98,1	2	85,85	171,7
98,1-122,6	3	110,35	331,05
Jami	15		1018,25

Demak korxonalar tomonidan ishlab chiqarilayotgan o‘rtacha mahsulot miqdori 67,9 ming tonnani tashkil qiladi.

Statistikada o‘rtacha arifmetik miqdor bilan bir qatorda o‘rtacha garmonik miqdor ham keng qo‘llaniladi. O‘rtacha garmonik miqdor o‘rtacha arifmetik miqdorning teskarisi hisoblanib u oddiy va tortilgan shakllarga ega.

Agarda to‘plamda belgining variantlari va ularning chastotalari ko‘paytmasining yig‘indisi bir xil bo‘lsa, oddiy o‘rtacha garmonik formulasi qo‘llaniladi. Masalan, tumandagi uchta kichik korxonada bir turdagi mahsulot ishlab chiqariladi. O‘rtacha mahsulot tannarxi birinchi korxonada 15 ming so‘m, ikkinchisida 12 ming so‘m, uchinchi korxonada esa 10 ming so‘mni tashkil etadi. Mahsulot ishlab chiqarishning umumiy xarajatlari barcha korxonalarda bir xil – 60 ming so‘mdan. Uchchala kichik korxona tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulotning o‘rtacha tannarxini hisoblaymiz.

Agar har bir korxona bir donadan mahsulot ishlab chiqarganda uning o‘rtacha tannarxi o‘rtacha arifmetik oddiy formula yordamida aniqlanar va bu miqdor ming so‘mga teng bo‘lar edi. Ammo korxonalar tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulotlar soni noma’lum. Korxonalar tomonidan ishlab chiqarilgan mahsulot miqdorini aniqlash umumiy ishlab chiqarish xarajatlarini har bir mahsulotning o‘rtacha tannarxiga bo‘lish orqali aniqlanadi: birinchi korxonada dona mahsulot, ikkinchi korxonada dona mahsulot, uchinchi korxonada dona mahsulot.

SHuning uchun uchala kichik korxonada ishlab chiqarilgan mahsulotlarning o‘rtacha tannarxi o‘rtacha garmonik oddiy formulasi yordamida topiladi: . Demak, kichik korxonalarda ishlab chiqarilgan bir birlik mahsulotning o‘rtacha tannarxi 12 ming so‘mga teng ekan.

Ayrim hollarda ma’lumotlar oraliq qatorlarda berilgan bo‘lib, belgining alohida variantlari ma’lum bo‘la turib, ularning vaznlari noma’lum va lar o‘rniga esa bilan ning ko‘paytmasi keltirilgan bo‘ladi. Bunday hollarda o‘rtachani hisoblash uchun o‘rtacha garmonik tortilgan formulasi qo‘llaniladi. Masalan, 2-jadvalning birinchi va uchinchi ustunlari ma’lumotlari asosida o‘rtacha ish haqi miqdorini aniqlaymiz: . Demak ikkala korxona bo‘yicha bir ishchiga to‘g‘ri keladigan o‘rtacha ish haqi miqdori 1020 ming so‘mni tashkil qiladi.

O‘rtacha tortilgan garmonik miqdor o‘rtalashtirilayotgan miqdorlar turlicha vaznga ega bo‘lgan taqdirda qo‘llaniladi.

Aniq sharoitda o‘rtacha arifmetik yoki o‘rtacha garmonik formulani qo‘llash quyidagi holatlarga bog‘liq:

• 
  agar belgining hajmini ifodalovchi ma’lumot (ya’ni nisbatning surati) va belgining alohida darajalari ma’lum bo‘lsa, u holda o‘rtacha miqdor o‘rtacha garmonik formula yordamida hisoblanadi;
  
• 
  agar belgining miqdorini ifodalovchi ma’lumot (ya’ni nisbatning maxraji) va belgining alohida darajalari ma’lum bo‘lsa, u holda o‘rtacha miqdor o‘rtacha arifmetik formula yordamida hisoblanadi;
  
• 
  agar belgining hajmi va miqdori ma’lum bo‘la turib, alohida darajalar noma’lum bo‘lsa, u holda ham o‘rtacha miqdor arifmetik (oddiy) formula yordamida hisoblanadi.
  

O‘rtacha miqdorlar yordamida, kuzatish birliklaridagi u yoki bu sabablar orqali bo‘lgan farqlarni tekislash jarayoni amalga oshiriladi. Masalan, do‘kondagi sotuvchining mehnat unumdorligi uning ish stajiga, yoshiga, sog‘lig‘iga, xizmat ko‘rsatish usuliga, ma’lumotiga, malakasiga va hatto tashqi ko‘rinishiga xam bog‘liq. O‘rtacha mehnat unumdorligi ushbu xususiyatlarni umumlashtiradi.

O‘rtacha miqdor mavhum miqdor, chunki u yo‘q birlikning mohiyatini xarakterlaydi. Bu degani to‘plam birliklarining birortasi ham o‘rtacha bilan teng bo‘lmasligi mumkin. O‘rtachalar mavhum miqdor ekan deb, ularni ilmiy tahlil qilish va o‘rganmaslikka hech qanday asos yo‘q. CHunki mavhumlik har qanday ilmiy tahlilning zaruriy shartidir. O‘rtacha miqdorlarda ham har qanday mavhumiylikka o‘xshab, alohida va umumiy dialektik birligi amalga oshiriladi.

O‘rtachalarni qo‘llash umumiy va individual, ommaviy va alohida kategoriyalarning dialektik tushunishdan kelib chiqishi kerak.

O‘rtacha har bir ob’ekt (birlik)da bo‘lgan xususiyatlarning umumiysini ro‘yobga chiqaradi. SHu xususiyat orqali o‘rtacha har bir birlikda ko‘rinmaydigan va ommaviy hodisalarga taalluqli qonuniyatlarni aniqlash imkoniyatiga egadir.

O‘rtacha miqdor bir-biridan farqlanadigan alohida miqdorlarning o‘rtachasidir. Ammo ayrim hodisalar bo‘yicha belgilarning aniq qiymatlarini hisobga olish zarurati tug‘iladi. Bunday hollarda statistikada moda va medianadan foydalaniladi.

Moda – to‘plamda eng katta songa yoki salmoqqa ega bo‘lgan ko‘rsatkich. U oraliq va oraliq bo‘lmagan qatorlar uchun aniqlanishi mumkin. Masalan, ish haqi modasi deyilganda eng ko‘p ishlovchilar oladigan mehnat haqi, erkaklar poyafzali – bo‘yicha eng ko‘p uchraydigan razmer tushuniladi.

Modaning o‘rtacha arifmetik, garmonik va hatto medianadan farqi, u hamma vaqt mavhum miqdorni emas, balki aniq miqdorni ifodalaydi. Moda, taqsimot qatorini oxirgi hadlariga bog‘lanib qolmagan. SHuning uchun ham teng bo‘lmagan taqsimlanishlarda o‘rtacha arifmetikni to‘ldiruvchisi bo‘lib hisoblanadi.

SHunday qilib, moda to‘plamda eng ko‘p uchraydigan chastota va tipik qiymatdir. U bozor iqtisodiyoti sharoitida keng qo‘llaniladigan muhim ko‘rsatkichlardan biri. Masalan, tijorat amaliyotida aholi ehtiyojini o‘rganishda yoki eng xaridorgir tovarlarni aniqlashda ushbu ko‘rsatkich asqotadi.

Diskret qatorlarda modani aniqlash qiyin ish emas. Ularda eng ko‘p uchraydigan varianti moda hisoblanadi.

1-misol. Do‘konda sotilgan erkaklar ko‘ylaklari o‘lchami bo‘yicha quyidagicha taqsimlangan:

4-jadval

Ko‘ylaklar razmeri:	44	46	48	50	52	54	56	58	60
Sotilgan soni:	14	63	191	210	300	197	48	21	9

Ko‘rinib turibdiki, erkaklarning aksariyat qismi 52 o‘lchamli kostyum xarid qilishar ekan.

Agarda ikkita o‘lcham bir xil uchrashish tezligi (chastota)ga ega bo‘lsa, bunday taqsimlanish bimodal deb yuritiladi.

Mediana – to‘plamni teng ikkiga bo‘luvchi ko‘rsatkich. Mediananing qiymati variatsion qatordagi tafovut va vaznlar salmog‘iga bog‘liq emas. To‘plam birliklarini yarmisi medianadan yuqorida, yarmisi esa pastda joylashadi.

Diskret variatsion qatorlarda medianani aniqlash uchun chastotalar yig‘indisi ikkiga bo‘linib olingan natijaga 1/2 qo‘shiladi. 1-misolda keltirilgan ma’lumotlar asosida hisoblanganda mediana 527 ga teng . Demak, 1053 birlikni teng ikkiga bo‘luvchi variant 527 ga to‘g‘ri keladi. 527 variantaning mohiyati qanaqa? Bu savolga javob berish uchun chastotalarni qo‘shish kerak, ya’ni .

Demak, 527 variant 52 razmerga to‘g‘ri kelyapti. Bizni misolimizda moda va mediana mos bo‘lib, bir variantga joylashgan.

Moda va mediana o‘rtacha miqdor funksiyasini bajar olmaydi. Ularning qiymati faqat simmetrik qatorlarda o‘rtacha qiymatga mos tushishi mumkin.

2-misol. 5-jadval ma’lumotlari asosida ishchilarning o‘rtacha ish stajini, moda va medianani aniqlang.

5-jadval

Ishlovchilar ish staji, yil	Ishchilar soni
2 gacha	4
2-4	23
4-6	20
6-8	35
8-10	11
10 dan yuqori	7

Echimi: jadvaldagi ma’lumotlar oraliqli qatorlarda keltirilgan. SHuning uchun o‘rtacha ish stajini aniqlashda, dastlab ishlovchilar ish staji bo‘yicha o‘rtacha , medianani aniqlashda esa o‘sib borish tartibidagi vaznlar yig‘indisini (kumulyata) aniqlash lozim.

6-jadval

Ishlovchilar ish staji, yil	Ishchilar soni jamiga nisbatan %	Ishlovchilar ish staji bo‘yicha o‘rtacha	O‘sib borish tartibidagi vaznlar yig‘indisi
2 gacha	4	1	4
2-4	23	3	27
4-6	20	5	47
6-8	35	7	82
8-10	11	9	93
10 dan yuqori	7	11	100
Jami	100	36

1) . Demak, ishchilarning o‘rtacha ish staji 5,9 yilni tashkil qiladi.

2) . Demak, to‘plamdagi eng ko‘p ish stajiga ega bo‘lgan ishchilar 35%ni tashkil etib ular o‘rtacha 6,8 yillik ish stajiga ega hisoblanadi.

3) . Hisob-kitobdan ko‘rinib turibdiki, ishchilarning yarmi 6,2 yillik ish stajiga ega, qolgan yarmi esa undan ko‘p yillik stajga ega.