Ortonormal bazislar. Gramm-shmidt formulalari

ORTONORMAL BAZISLAR. GRAMM-SHMIDT FORMULALARI
REJA:

1. 
   Ortogonal basis.
   
2. 
   Ortonormal basis.
   
3. 
   Ortonormalbazisniqurish.(Gramm-Shmidtformulasi)
   

Kalitso’zlar.Ortogonal, ortonormal, basis, ortogonallashtirishjarayoni, ortonormallashtirish, Gramm-Shmidtformulasi, fazo, qismfazo.

1. 
   Ortonormalbazis
   

1-ta’rif. Eⁿ evklidfazodagie₁,e₂,...,e_n vektorlaruchun 

munosabato’rinlibo’lsa, buvektorlarortogonal basis tashkilqiladideyiladi.

2-ta’rif. Agar orthogonal bazisningbarchavektorlaribirlikvektorlarbo’lsa, ya’ni

bo’lsa, uholda e₁,e₂,...,e_n  ortonormal basis deyiladi.

Teorema (ortonormalbazisniqurish)

Harqandayevklidfazodaortonormal basis mavjud.

Isboti.Teoremani n = 3uchun isbotlaymiz. 

Farazqilaylik E₁,E₂,E₃ - E³evklidfazodagiixtiyoriybazisbo'lsin. Bufazoda  ortonormalbasisniquyidagichaquramiz:

 ,

buyerda soninishundaytanlaymizki (e₁,e₂) = 0bo’lsin. Uholda

bo’ladi.

Ko’rinibturibdiki, E₁ vaE₂ ortogonalbo’lsa, _{bo’ladi, ya’nibasisvectorbo’lganiuchun}e₂ = E₂  va E₂ ≠0 bo’ladi.

Endie₃vektorni  ko’rinishdaaniqlaymiz, buyerda sonlarnishundayaniqlaymizki, e₃ vektor e₁,e₂vektorlarbilanortogonalbo’lsin, ya’ni

 

bo’lsin.

(e₁,e₂)=0ekanligidanquyidagilarkelibchiqadi:


Ma’lumki, e₁ va e₂vektorlar E₃ vektorbilanortogonalbo’lsa, bo’ladi, u holdae₃ = E₃qilibolishkerak. Albattabo’ladi, chunkiE₁, E₂ vaE₃ chiziqlibog’liqsizvektorlardir, demakbo’ladi.

Keltirilganma’lumotlargako’ra e₃vektorni e₁ va e₂ vektorlarningchiziqlikombinatsiyasiko’rinishidayozishmumkinemas, ularchiziqlibog’liqsizvajuft-juftibilanortogonaldir. Demak e₁, e₂, e₃ vektorlar E³evklidfazodaortogonalbazisbo’ladi. Endibuortogonalbazisninormallashtiramiz, ya’niharbirhosilqilinganvektornio’zininguzunligigabo’lamizva

ko’rinishidagiortonormalbazisnihosilqilamiz. Teoremaisbotlandi.

Yuqoridagiteoremaningisbotidaqo’llanilganusulortogonallashtirishjarayoni deb ataladi.Teoremaniisbotlashjarayonida, juft-juftibilanortogonalbo’lganvektorlarchiziqlibog’liqsizbo’lishinianiqladik. Bundantashqari Eⁿ fazodaortonormalbazisbo’lsa, u holdaixtiyoriyvectornibubazisorqaliyagonausuldaquyidagichayoyishmumkin:

buyerda x₁, x₂,...,x_n –sonlar xvektorningortonormalbazisdagikoordinatalarideyiladi.  

Kelgusida biz faqatortonormal basis bilanishlaymiz, shuninguchunyozuvnisoddalashtirishmaqsadida basis vektorlardaginollarnitushuribqoldiramiz.

Misol.evklidfazodaquyidagivektorlarorqaliortonormal basis qurilsin.

Dastlaborthogonal basisquramiz.vektorlarorasidao’zaro orthogonal bo’lganlaribor-yo’qliginitekshiramiz. Buninguchunskalyarko’paytmalarnihisoblaymiz:

.

Ko’rinibturibdiki vavektorlarortogonal.Shuninguchun orthogonalbazisdako’rinishdatanlaymiz.

Endivektorniortogonalizatsiyaamaliyordamidaaniqlaymiz: .

vektorlarningortogonallikshartidanquyidagilarkelibchiqadi:

.

Shundayqilib gatengbo’ldi. Hosilbo’lganvektorlarninormallashtiramiz,ya’niortonormalbazisnihosilqilamiz: