Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni

UNITAR FAZOLAR

Unitar fazo - evklid fazosining kompleks ko`rinishi.

Ta`rif. Agar V kompleks chiziqli fazoda ikki vektor argumentli (x,y) kompleks qiymatli funktsiya uchun ushbu:

1. 
   xar qanday uchun
   
2. 
   xar qanday uchun
   
3. 
   xar qanday uchun
   
4. 
   xar qanday nol`dan farqli vektor uchun shartlar bajarilsa, u V kompleks chiziqli fazodagi skalyar
   ko`paytma deb ataladi. Skalyar ko`paytma aniqlangan V kompleks chiziqli fazo esa unitar deb ataladi.
   

Ravshanki, unitar fazoning xar qanday qismfazosi xam unitar fazo.
Ikkinchi va uchinchi shartlar skalyar ko`paytma birinchi argumenti bo`yicha chiziqli ekanligini ko`rsatadi. Bundan va birinchi shartdan ikkinchi argumenti bo`yicha 2-turchiziqli ekanligi, ya`ni

shartlarning xar qanday uchun bajarilishi kelib chiqadi (isbotlang). Bularga ko`ra, unitar fazodagi skalyar ko`paytma ermit formasi bo`lib, unga mos kvadratik forma musbat.
Misol ko`ramiz. Agar fazoda va skalyar ko`paytmani

tenglik bilan kiritsak, unitar fazoga aylanadi (tekshiring).
Evklid fazosidagi kabi unitar fazoda xam, Gram determinanti tushunchasi kiritiladi va vektorlar tizimi chiziqli erkli bo`lsa, ularning Gram determinanti musbat ekanligi va aks xolda - nol’ga teng ekanligi isbotlanadi. Bu teoremani ikkita vektordan iborat tizimga tatbiq qilib, unitar fazo uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligini olamiz. Unitar fazoda bu tengsizlikning ko`rinishi quyidagicha:

Unitar fazoda vektorning uzunligi xuddi evklid fazodagidek ta`riflanadi: uchun

Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan V unitar fazoning xar qanday x,y vektorlari uchun tengsizlikning o`rinli ekanligi kelib chiqadi. Bu evklid fazodagi kabi unitar fazoda ushbu tenglik orqali metrika kiritishga imkon beradi.
Unitar fazoda ikkita vevstor orasidagi burchak tushunchasi kiritilmaydi, ammo ortogonallik tushunchasi kiritiladi: agar unitar fazodagi nol’dan farqli ikkita vektorning skalyar ko`paytmasi nol’ga teng bo`lsa, ular ortogonal deb ataladi. Ortogonal va ortonormal tizim tushunchalari xuddi evklid fazosidagidek kiritiladi.
Unitar fazoda ortonormal bazislarning mavjudligi ermit formalar xaqidagi teoremalardan bevosita kelib chiqadi. Agar V unitar fazoda ortonormal tizim berilgan va
Bu fazodagi vektorlar bo`lsa, evklid fazodagi kabi, ushbu

tengliklarni olamiz.
Bu paragrafdagi keltirilgan teoremalarning isbotlarini mustaqil bajarish tavsiya qilinadi.