Ortonormal sistemalar. Ortogonallashtirish jarayoni

ORTOGONAL PROEKTSIYALAR


V evklid fazosida V₁ qismfazo va vektor berilgan bo`lsin. Agar x vektor qismfazoning xar bir vektoriga ortogonal bo`lsa, x vektor qismfazoga ortogonal deyiladi.
Ta`rif. qismfazoga tegshili bo`lmagan vektor uchun shunday vektor topilsaki, vektor qismfazoga ortogonal bo`lsa, bunday x<sub>1</sub> vektor x vektorning qismfazoga ortogonal proektsiyasi (soyasi) deb ataladi.
Xususan, agar x vektor qismfazoga ortogonal bo`lsa, u xolda nol’ vektor x vektorning ga ortogonal proektsiyasi bo`ladi.
1-t e o r e m a. Agar vektor vektortng ortogonal proektsiyasi bo`lsa, u xolda x₁ vektorga teng bo`lmagan xar qanday vektor uchun tengsizlik o`rinli (ya`ni evklid metrikasida x₁ vektor fazoda x vektorga eng yaqin vektor).
I s b o t. Xaqiqatan, vektor ning nol’dan farqli vektori va SHuning uchun

Bundan
2-t e o r e m a. Agar - evklid V fazosining chekli o`lchamli qismfazosi bo`lsa, u xolda ga tegishli bo`lmagan xar qanday x vektor yagona ortogonal proektsiyaga ega.
Isbot. ning biror ortonormal bazisini olamiz. U xolda

vektor x vektorning V₁ ga ortogonal proektsiyasidir. Xaqiqatan, xar bir uchun

Demak, . SHuning uchun xar qanday
vektor uchun

Ortogonal proektsiyaning yagonaligi 1-teoremadan kelib chiqadi.
Vektorning cheksiz o`lchamli qismfazoga ortogonal proektsiyasi mavjud bo`lmasligi xam mumkin. Masalan, ma`lumki, fazoda evklid metrikasida e<sup>t</sup> uzluksiz funktsiyasiga eng yaqin bo`lgan ko`pxad mavjud emas. Bun-dan yo funktsiyasining ko`pxadlar qismfazosiga ortogonal proektsiyasi mavjud emasligi kelib chiqadi.
Misol ko`ramiz. Ushbu

ko`rinishdagi xar qanday funktsiya n darajali trigonometrik ko`pxad deb ataladi. Darajasi barcha trigonometrik ko`pxadlar fazoning o`lchamli T qismfazosini xosil qiladi. YUqorida ko`rilgan ushbu

tizim bu qismfazoning ortonormal bazisini xosil qiladi.
Agar funktsiya segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, u xolda 2-teoremaning isbotida ko`rsatilganiga ko`ra, uning qismfazoga ortogonal proektsiyasi (ya`ni evklid metrikasida bu funktsiyaga eng yaqin bo`lgan trigonometrik ko`pxad)

ko`pxaddir, bu erda

Bu tengliklar bilan aniqlangan va koeffitsientlar funktsiyaning Fur’e koeffitsientlari deyiladi.