Основные понятия мкэ

{PY_e и J 1’У. К эквивалентным узловым силам приводятся также си­лы инерции (как массовые силы), начальные деформации, в том числе температурные деформации (вектор {P}^s_e⁰), начальные напряжения

(вектор {РУ_е°)-
Матричное уравнение жёсткости элемента имеет вид




где \К\_е -матрица жесткости элемента, состоящая из коэффициентов жесткости, -вектор узловых перемещений элемента.
Обоснование уравнения (14) может быть выполнено с помощью теории упругости или сопротивления материалов, но такой подход имеет ряд недостатков [3]. Более эффективными и во многих случаях более корректными способами обоснования уравнений жёсткости элементов являются вариационные методы и методы невязок [1 - 9].
Заметим, что вариационные методы позволяют получать общую систему уравнений равновесия всей модели без введения узловых сил {F}_e, то есть без предположения о взаимодействии элементов только
через узлы и без составления соотношений (14) для жёсткости эле­ментов. Однако в вычислительном процессе МКЭ удобно вначале оп­ределять матрицы элементов [^]_е, {Р}^&_е, {Р}% {Р}7 ’ а затем
из них собирать общие матрицы системы уравнений равновесия мо­дели по стандартным правилам суммирования компонентов матриц с одинаковыми индексами.
Если задача деформирования динамическая, то, на основании принципа Даламбера, в уравнения (14) добавляются узловые силы, эквивалентные массовым силам инерции, зависящим от ускорения. Демпфирование учитывается эквивалентными объёмными силами вязкого сопротивления, пропорциональными скорости. В результате получается дифференциальное матричное уравнение





где [С ] - матрица демпфирования элемента, зависящая от коэффици­ента вязкого демпфирования /./; [/и] -матрица масс элемента, зави­сящая от плотности материала элемента р.
Обоснование МКЭ для тепловых задач обычно проводится или путём минимизации соответствующего функционала, или способом Галёркина. Для конечного элемента в случае стационарной теплопро­водности получается соотношение, подобное (14):





где [АТ] - матрица теплопроводности элемента; {Т} - вектор узловых температур элемента; {Q}_e -условные узловые тепловые нагрузки элемента от других элементов; {Q}⁸, {б}* -векторы узловых
тепловых нагрузок элемента, эквивалентных соответственно поверх­ностному тепловому потоку, тепловым потокам от внутренних теп­лоисточников и от конвективной теплопередачи.
При нестационарной теплопроводности необходимо добавить слагаемое, учитывающее накопление тепла в материале. В результате получается дифференциальное матричное уравнение


где [С] - матрица теплоёмкости элемента.

2. 
   РАЗРЕШАЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ МКЭ.
   

ГРАНИЧНЫЕ И НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Из условий равновесия узлов или с помощью вариационных принципов, а также методов невязок, применяемых ко всей конечно­элементной модели, составляется общая система уравнений равнове­сия всей конечно-элементной модели исследуемого деформируемого тела. Для статических задач она имеет вид





где [АГ]-общая (глобальная) матрица жесткости конечно-элементной модели; {/*}- общий вектор заданных внешних узловых сил; \Р\^Ч. {i⁵}⁸, {Р}^е°, {/^>}^ст° - общие (глобальные) векторы узловых сил, экви­валентных распределённым поверхностным и массовым силам, на­чальным деформациям, начальным напряжениям.
Компоненты матрицы [А^-] являются коэффициентами жёсткости модели. Они вычисляются путём суммирования соответствующих коэффициентов жёсткости конечных элементов (подробнее см. п. 1.8 и 1.9). Матрица жёсткости [А^-] для конечно-элементной модели об­ладает симметрией, имеет ленточную структуру и редкое заполнение.
Общий вектор заданных внешних узловых сил {/'} можно пред­ставить в виде





где Pj = {/'} - подматрица из п, компонентов силы, приложенной в узле