Основные понятия мкэ

и.
ю
Если узел i имеет п, степеней свободы, а конечный элемент вклю­чает п_е узлов, то число степеней свободы одного элемента равно п_е х n_t. Число степеней свободы всей модели, имеющей п однотипных узлов равно N = пхп_г Набор всех степеней свободы модели состав­ляет общий (глобальный) вектор степеней свободы (то есть узловых перемещений модели), в котором нумерация степеней свободы может быть общей (глобальной) или по номерам узлов с добавлением ин­декса узловой степени свободы





где {U,}-подматрица, составленная из всех п, компонентов переме­щения узла i. В частности, для трёхмерной задачи при использовании общей декартовой системы координат х, у, z эта подматрица является вектором перемещений узла (1). Переход от узловой нумерации к общей очевиден. Например, для рассмотренного выше случая трёх степеней свободы в узле формулы преобразования имеют следующий вид: и. = и,. ,, и. = и,.,, и. = и,..
^ IX 51—1' iy 5l—I' 1Z 51
Для тепловой задачи один узел с глобальным номером i имеет одну степень свободы - температуру У^-,. Общий (глобальный) вектор степеней свободы в этом случае имеет вид

2. 
   
   
   
   ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ИСКОМОЙ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИИ ФОРМЫ
   

Р ассмотрим процедуру ин­терполяции поля перемещений на примере одномерной задачи де­формирования стержня АВ, пока­занного на рис. 1.2. Интерполиро­вание может выполняться с по­мощью множества кусочно­непрерывных функций, называе­мых функциями формы. Каждая функция формы отлична от нуля только в области одного «своего» конечного элемента, равна единице в одном узле этого элемента и равна нулю во всех других узлах. Та­кой выбор интерполирующих функций позволяет рассчитывать век­тор перемещения произвольной точки элемента и_е{х) через вектор
узловых перемещений элемента {(/[^ в виде сумм





где х- координата, определяющая положение точки в элементе,
[ А'О)] - матрица функций формы элемента.
Разобьём стержень АВ на два элемента с узлами 1-2 и 2-3. Узло­вые значения функции и(х) образуют общий вектор-столбец
{




В узлах первого элемента зависимость (5) даст два равенства:

[/} = {щ и₂ и₃}^Т. Для первого элемента интерполирующую функ­цию примем в виде полинома первой степени, то есть в виде линей­ной зависимости


где [iV] 1= I^jYj /V'! -матрица функций формы для первого элемента. Функции формы первого элемента:


Заметим, что для функций формы в узлах справедливы соотно­шения





Аналогично выражаются перемещения второго элемента:





матрица функций формы второго

Н
элемента.
Функции формы второго элемента:

а общей границе элементов в узле 2 аппроксимирующая функ­ция остаётся непрерывной благодаря равенству щ (х₂) = и₂ (х₂) = и₂.
Таким образом, для одномерных конечных элементов построены линейные функции формы. Конечные элементы с линейной аппрок­симацией называются элементами первого порядка или симплекс- элементами.



Преобразования, аналогичные вышеприведенным, дают выражение



П
квад­


ратичные функции формы.

редставим весь стержень АВ как один одномерный конечный элемент с тремя узлами. Тогда для аппроксимации функции и(х) можно использовать полином второй степени:


Элемент, для которого используется функция формы в виде мно­гочлена второй степени, называется одномерным квадратичным, или одномерным элементом второго порядка. Обобщая рассмотренные примеры, видим, что степень полиномов, используемых в качестве функций формы, определяет порядок конечного элемента. Выбор по­рядка аппроксимации накладывает определённые условия на количе­ство узлов элемента.
Для многих типов конечных элементов функции формы и другие соотношения МКЭ эффективно определяются в местных (элемент­ных) естественных системах координат [5]. Связь между такими ме­стными координатами и общими декартовыми координатами осуще­ствляется с помощью некоторых отображающих функций.
В задачах теплопроводности аппроксимация искомого темпера­турного поля с помощью функций формы производится аналогично.

2. 
   УРАВНЕНИЯ ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА
   

Рассмотрим сначала линейно-упругую задачу деформирования твёрдого тела при малых деформациях и малых перемещениях. При­нимается, что конечные элементы взаимодействуют только через об­щие узлы. Внутренние распределённые силы, действующие по гра­ницам элемента е, заменяются статически эквивалентными узловыми силами, составляющими вектор узловых сил элемента {/' } . Внешние
распределённые массовые и поверхностные силы, действующие на конечный элемент, приводятся к статически или энергетически экви­валентным узловым силам, образующим соответственно векторы