Основные понятия мкэ

^J 99
В статических задачах задаваемые перемещения (связи) должны исключать возможность перемещения нагруженной конструкции как абсолютно твёрдого тела. Только в этом случае разрешающая система уравнений (18), после учёта граничных условий, будет иметь единст­венное решение. До учёта связей исходная система (18) имеет линей­но зависимые уравнения, определитель её матрицы жёсткости равен нулю, следовательно, матрица жёсткости свободного тела является сингулярной (особенной), и нельзя найти однозначного решения для узловых перемещений. Эта математическая особенность отражает физический факт, что действующие на свободное тело уравновешен­ные силы в статических задачах не определяют однозначно переме­щения из-за неопределенности смещения его как твёрдого тела [5, 7]. Динамические задачи, описываемые уравнениями (20), могут решать­ся без наложения связей - перемещений.
В задачах теплопроводности граничные условия первого рода - заданные узловые температуры (связи) учитываются так же, как за­данные перемещения в деформационной задаче. Граничные условия второго рода - заданные тепловые потоки и граничные условия третьего рода - конвективные потоки учитываются в уравнениях ба­ланса тепловых потоков (21), (22) в правых частях.
Для нестационарных задач должны быть определены начальные условия. В динамических задачах деформирования нужно знать для некоторого начального момента времени начальные положения и на­чальные скорости всех точек тела. В нестационарной задаче тепло­проводности требуется знать для некоторого начального момента времени начальное поле температур.

2. 
   РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МКЭ
   

Общая система уравнений равновесия (18), полученная методом конечных элементов для статической линейно-упругой модели тела, является, с математической точки зрения, системой линейных алгеб­раических уравнений (СЛАУ). После учета правильно наложенных связей, не допускающих движения модели как абсолютно твёрдого тела, определитель матрицы жёсткости [А^-] не равен нулю и, следо­вательно, существует единственное решение - общий вектор узловых перемещений {(/}. Общая система линейных уравнений стационар­ной теплопроводности (21) также является СЛАУ, имеющей, после учёта связей, единственное решение. Решение этой системы даёт век­тор узловых температур \Т}.Точность и эффективность различных способов решения СЛАУ (18) и (21) во многом зависит от структуры и свойств матрицы [А"]:
размера, обусловленности, симметричности, заполненности и др. [2]. Известные алгоритмы решения СЛАУ можно разделить в основном на две группы: прямые методы и итерационные методы [1, 2, 5, 6].
Прямые («точные») методы позволяют получать с помощью ко­нечного числа операций точные значения неизвестных, если коэффи­циенты и правые части уравнений заданы точно и нет округлений при вычислениях. Среди множества прямых методов наибольшее приме­нение имеют: метод исключения неизвестных Гаусса, метод квадрат­ного корня, а также их разновидности, в частности, фронтальный ме­тод и схема разложения Холецкого.
Итерационные методы характеризуются тем, что вначале задают­ся некоторыми приближёнными значениями неизвестных. Затем с помощью каких-либо алгоритмов их последовательно уточняют, при­ближаясь к точному решению. Наиболее часто используются метод прямой итерации, метод Гаусса-Зейделя, метод последовательной верхней релаксации, градиентные методы наискорейшего спуска и сопряжённых градиентов.
Дифференциальные уравнения движения (20) и дифференциаль­ные уравнения нестационарной теплопроводности (22) интегрируют­ся различными численными методами [5]. В результате находятся уз­ловые перемещения или узловые температуры как функции времени. Через них определяются все другие искомые величины так же, как функции времени.
Конечно-элементные модели могут быть нелинейными. Модель деформирования физически нелинейна, если в ней учитывается нели­нейное поведение материала - нелинейная упругость, текучесть, пол­зучесть и др. Геометрическая нелинейность при деформировании обусловлена большими деформациями и большими перемещениями. В нелинейных конечно-элементных моделях теплопроводности фи­зические свойства (теплопроводность, теплоёмкость, коэффициент теплоотдачи и др.) зависят от температуры.
Нелинейные задачи решаются итерационными методами, при этом на каждой итерации рассматриваются квазилинейные уравне­ния. В практических вычислениях часто применяется метод Ньютона- Рафсона и его модификации [5]. Для нелинейных задач деформиро­вания иногда эффективны методы переменных параметров упруго­сти, начальных деформаций и начальных напряжений. Если в нели­нейной задаче важна история нагружения, нужно производить реше­ние малыми шагами нагрузки.

2. 
   АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РЕШЕНИЯ
   

В задаче деформирования после определения глобального векто­ра степеней свободы {(/} находят элементные векторы узловых пе­ремещений {(/} . Через них путём интерполяции с помощью функ­ций формы вычисляются перемещения любых точек элементов. Для стержневых элементов по известным векторам {(/[^ из уравнений
(14) находят вектора {/' } . а затем методами сопротивления материа­лов вычисляют внутренние силы, моменты и напряжения. Для пло­ских и объёмных элементов, дифференцируя аппроксимирующие функции перемещений внутри элементов, находят деформации и по закону Гука вычисляют напряжения.
Для конечных элементов первого порядка с линейной интерполя­цией перемещений величины деформаций и напряжений внутри эле­ментов получаются постоянными, следовательно, на межэлементных границах эти величины будут иметь разрывы. Для квадратичных эле­ментов и элементов более высокого порядка с нелинейной интерпо­ляцией перемещений величины деформаций и напряжений внутри элементов изменяются и вычисляются обычно приближенно. На гра­ницах элементов при таком подходе поля деформаций и напряжений имеют конечные разрывы. С целью уточнения результатов вычисле­ний применяют различные способы усреднения. Например, в вы­бранном узле берут среднюю величину узловых значений напряже­ний, найденных для всех элементов, примыкающих к этому узлу. Бо­лее точные результаты получаются с помощью теории сопряжённой аппроксимации [8, 9].
Реакции опор вычисляют из соответствующих уравнений общей системы (18), взятой до её модификации, учитывающей связи. Ис­пользуя глобальную нумерацию компонентов векторов узловых сил, можно записать следующую формулу для реакций в опорных узлах:





В динамической задаче общий вектор узловых перемещений и все другие указанные выше величины (деформации, напряжения, ре­акции) находятся как функции времени. В задаче теплопроводности через найденные узловые температуры, используя аппроксимирую­щие функции формы, можно определить температуру любой точки, градиенты температур и потоки тепла. В нестационарной задаче теп­лопроводности все указанные выше величины определяются как функции времени.
Более подробно алгоритм метода конечных элементов для меха­ники деформируемого твердого тела изложен в двух нижеследующих пунктах, где рассмотрены задача расчёта ферменной конструкции и задача определения плоского напряжённого состояния пластины. В первом случае используется прямое обоснование разрешающей сис­темы уравнений МКЭ через равновесие узлов. Во втором случае ис­пользован вариационный подход. Последний пункт первой главы по­священ обоснованию МКЭ для задач теплопроводности.Фермой называется неизменяемая конструкция из прямых стерж­ней, соединённых между собой шарнирами. Силы прикладываются к шарнирам - узлам фермы, закрепления осуществляются также в уз­лах. Статический расчёт фермы заключается в определении переме­щений узлов, реакций опор, усилий в стержнях, напряжений и де­формаций стержней.
Рассмотрим ферму, имеющую п узлов и т стержней, у которой оси стержней и силы лежат в одной плоскости (рис. 1.3). Перемеще­ния также ограничим этой плоскостью; такая ферма называется пло­ской, или двумерной.





Ферму сразу можно анализировать как конечно-элементную мо­дель. Стержни являются одномерными конечными элементами, а шарнирные соединения - узлами. В качестве степеней свободы возь­мём узловые перемещения, которые будем полагать малыми.

Ферменный (одномерный) конечный элемент показан на рис. 1.4. С ним связана местная (локальная) система координат х,у. Общая (глобальная) для всей фермы система координат х, у перенесена па­раллельным переносом в узел /.



Узловые перемещения и узловые силы образуют векторы, кото­рые в местной системе координат можно представить в виде:





Векторы узловых перемещений и узловых сил, как для отдельно­го элемента, так и для всей модели фермы, в общей системе коорди­нат удобно рассматривать как блочные матрицы. Векторы узловых перемещений и сил элемента имеют вид





Общий вектор узловых перемещений и внешних узловых сил фермы:


Компоненты матриц |f/} и {/'} в (26) индексировались по номе­рам узлов и координатным направлениям. При вычислениях исполь­зуется также индексация по общим номерам степеней свободы ко- нечно-элементной модели. Переход к такой индексации для случая двумерной задачи производится по правилу: индекс «т> меняется на индекс «2/ — 1», индекс «(у» меняется на индекс «2/». Тогда общие векторы узловых перемещений фермы и узловых внешних сил, дей­ствующих на ферму, будут иметь вид
и ,